Accueil - Boutique - Contact - Assistance
Zone de recherche

Altas Auteurs Recherche thématique Dictionnaire
 

STABILITÉ

Page précédente Page suivante

5.  La méthode de Liapounoff

Considérons le système différentiel :

où x décrit un espace vectoriel réel à n dimensions et f est une application à valeurs dans cet espace, t étant une variable réelle. On suppose de plus que f (x, t ) satisfait à la condition de Lipschitz :
avec t ∈ [t0, t0 + T] et où k est une constante dans le domaine Ω(a, τ) :
et on suppose aussi que f (0, t ) = 0 quel que soit t. On voit ainsi que x = 0 est un point critique ; on se propose d'en discuter la stabilité suivant les idées introduites par Liapounoff.

Si V(x, t ) est une fonction à valeurs scalaires, pourvue de dérivées partielles premières continues dans Ω(a, τ ), l'étude de sa variation le long d'une trajectoire (Γ), définie par x = x(t ) solution du système différentiel, peut aisément se faire en étudiant le signe de :

où dans le second membre les xi devront être remplacés par les composantes xi(t ) de la solution considérée.

On dira que la fonction V(x, t ) a un signe constant si, dans un domaine Ω(a,τ) convenable, elle est différentiable, si elle ne prend que des valeurs d'un même signe ou si elle est nulle, et si V(0, t ) = 0. Elle sera dite positive ou négative selon la nature de ce signe.

Si W(x) est une fonction indépendante du temps, on dira que W est définie positive (ou définie négative) si elle est différentiable et positive (ou négative) dans un […]

… pour nos abonnés, l'article se prolonge sur 5 pages… Offre essai 7 jours

Thématique

Classification thématique de cet article :

Retour en haut

Autres références

« STABILITÉ » est également traité dans :

AÉRODYNAMIQUE

Écrit par :  Hervé CONSIGNY, Jean COUSTEIX, Claude FRANÇOIS, Jean-Jacques THIBERT, Henri VIVIAND

Dans le chapitre "Méthode générale d'étude et limitation"  : …  couche limite, qui permet le calcul de la traînée de frottement, et du flux de chaleur à la paroi. *On voit en quoi cette méthode est critiquable : en effet, rien ne prouve que la solution ainsi définie soit stable dans le temps, et, effectivement, elle ne l'est pas toujours ; si tel est le cas, il y a deux possibilités : – ou bien il… Lire la suite
ARNOLD VLADIMIR (1937-2010)

Écrit par :  Bernard PIRE

…  appliquées de Moscou en 1963. C'est à l'occasion de ces travaux consacrés aux problèmes de *stabilité en mécanique classique et céleste qu'il démontre rigoureusement un théorème conjecturé en 1954 par Kolmogorov et dont un cas particulier avait été établi en 1962 par l'Américain Jürgen Moser. Ce théorème KAM (initiales de ses trois auteurs… Lire la suite
AUTOMATIQUE

Écrit par :  Hisham ABOU-KANDIL, Henri BOURLÈS

Dans le chapitre "Vue d'ensemble"  : …  bouclés de manière générale et systématique est, à l'exclusion de toute autre, l'automatique. L'une* des difficultés majeures que l'on rencontre avec les systèmes bouclés est la possible instabilité de ceux-ci. Disons en première approximation qu'un système est stable lorsque toutes ses variables convergent vers des valeurs finies, dites… Lire la suite
DYNAMIQUE

Écrit par :  Michel CAZIN, Jeanine MOREL

Dans le chapitre "Stabilité d'un équilibre"  : …  *Par définition, on dit qu'une valeur qi,e d'équilibre pour un paramètre qi est stable si, et seulement si, quels que soient ε > 0 et ε′ > 0 suffisamment petits : Une position d'équilibre d'un ensemble matériel Σ par rapport à un repère (λ) sera dite stable si, et… Lire la suite
ÉQUILIBRATION

Écrit par :  Francis LESTIENNE

Dans le chapitre "La fonction proprioceptive de la vision"  : …  ainsi le rôle d'un tachymètre. Cette fonction proprioceptive intervient de façon prédominante sur le* contrôle postural et par là même sur le maintien de l'équilibre. Il est bien connu que l'absence d'informations visuelles favorise nettement l'instabilité posturale. Cette déstabilisation démontre que les différentes afférences sensorielles dont… Lire la suite
HASARD & NÉCESSITÉ

Écrit par :  Ilya PRIGOGINE, Isabelle STENGERS,  Universalis

Dans le chapitre "Les risques de la définition"  : …  d'une description déterministe. L'état d'équilibre physico-chimique est stable, et cette *stabilité peut recevoir deux interprétations distinctes quoique convergentes : – D'une part, elle peut renvoyer directement au deuxième principe de thermodynamique, et le système physico-chimique est alors décrit par une fonction d'état, aussi appelé… Lire la suite
MÉCANIQUE SPATIALE

Écrit par :  Jean-Pierre CARROU

Dans le chapitre " Le mouvement autour du centre de gravité"  : …  émise par une balise terrestre, ou l'orientation d'un champ magnétique). Le contrôle d'attitude, ou *stabilisation, peut être effectué en mode passif ou en mode actif. Le mode passif utilise les couples perturbateurs extérieurs existants. On peut citer parmi les modes passifs la stabilisation par gradient de gravité, la stabilisation magnétique, la… Lire la suite
MÉTASTABILITÉ

Écrit par :  Alain DELAUNAY

… *« Ce qui se manifeste, c'est aussi, en premier et le plus souvent, l'apparente stabilité des choses visibles, leur extraordinaire entêtement à demeurer en leur état » (J. T. Desanti, Natura Rerum : ordre ou désordre ?). La stabilité désigne la condition de possibilité de la réalité phénoménale. Mais signifie-t-elle pour autant la… Lire la suite
NAVIRES - Architecture navale

Écrit par :  Michel BENICOURT, Raymond SERVIÈRES

Dans le chapitre " Équilibre du navire immobile et choix des formes"  : …  et maximal lorsque Fi est transversal (inclinaisons longitudinales). La condition de *stabilité de l'équilibre initial se réduit à (ρ — a) positif pour les inclinaisons transversales ou encore à G au-dessous du métacentre transversal. La largeur de la flottaison est un facteur de stabilité. Pour un sous-marin en plongée, I = … Lire la suite
NAVIRES - Navires de guerre

Écrit par :  Régis BEAUGRAND, André BERNARDINI, Jean LE TALLEC, Marc MENEZ, Jean TOUFFAIT

Dans le chapitre "Équilibre du bâtiment"  : …  du sous-marin en surface et le total des poids embarqués et des installations existantes. La *stabilité du sous-marin en plongée statique est assurée si le centre de gravité Gs (confondu avec Gi) est situé en dessous de Ci ; on appelle ai le module de stabilité en… Lire la suite
NAVIRES - Navires de plaisance

Écrit par :  Jean-Charles NAHON

Dans le chapitre "Les systèmes de stabilisation"  : …  le confort du navire, d'où l'importance croissante du contrôle de son comportement par des systèmes* de stabilisation. Seul le mouvement de roulis peut être contrôlé sur les yachts monocoques classiques. Les systèmes utilisés pour contrer ce mouvement s'apparentent à plusieurs familles : – Les systèmes actifs à ailerons (une ou deux paires par… Lire la suite
POINCARÉ HENRI (1854-1912)

Écrit par :  Gérard BESSON, Christian HOUZEL, Michel PATY

Dans le chapitre "Mécanique céleste et systèmes dynamiques"  : …  de coefficients dits de stabilité : quand ces derniers sont tous positifs, la condition de *stabilité est obtenue ; quand l'un d'eux s'annule, la figure est de bifurcation. Si une figure appartient à deux séries différentes, on a une figure d'équilibre de bifurcation : ces deux séries échangent leur stabilité (par exemple… Lire la suite
SINGULARITÉS DES FONCTIONS DIFFÉRENTIABLES, la théorie mathématique et ses applications

Écrit par :  Alain CHENCINER

Dans le chapitre "Codimension d'une fonction"  : …  stable si l'orbite locale de f sous l'action du groupe G est ouverte. Le problème de la *stabilité est facile à résoudre dans le cas d'une action α : G × M → M de classe C∞ d'un groupe de Lie G sur une variété de dimension finie M : il suit, en effet, du théorème du rang constant (qui découle du théorème des fonctions… Lire la suite
SYSTÈMES DYNAMIQUES DIFFÉRENTIABLES

Écrit par :  Alain CHENCINER

Dans le chapitre "Hyperbolicité"  : …  à Ωi0, c'est-à-dire tels que : Le théorème de Ω-*stabilité de Smale affirme qu'un difféomorphisme f axiome A qui n'a pas de cycle est Ω-stable (si g est proche de f dans la topologie C1, f|Ω(f ) et g|Ω(g) sont conjugués… Lire la suite
THERMODYNAMIQUE - Lois fondamentales

Écrit par :  Paul GLANSDORFF, Ilya PRIGOGINE

Dans le chapitre "Les potentiels thermodynamiques, les états d'équilibre et la stabilité de l'équilibre"  : …  Thermodynamique chimique). D'autre part, les inégalités (17) fournissent également des critères de *stabilité de l'état d'équilibre selon une méthode introduite par J. W. Gibbs et P. Duhem. On exprime à l'aide de (17) qu'aucune évolution partant de l'état d'équilibre n'est possible parce qu'elle ne respecterait pas le signe d'inégalité imposé par… Lire la suite
THERMODYNAMIQUE - Processus irréversibles non linéaires

Écrit par :  Agnès BABLOYANTZ, Paul GLANSDORFF, Albert GOLDBETER, Grégoire NICOLIS, Ilya PRIGOGINE

Dans le chapitre "Critères d'évolution et de stabilité"  : …  à la différentielle exacte d'un potentiel, ce critère présente de l'intérêt pour l'étude de la *stabilité des états, stationnaires ou non, éloignés de l'équilibre. Le degré de généralité de ce nouveau critère n'est guère limité que par l'hypothèse préalable de l'équilibre local défini par la relation (13) de l'article relatif aux lois… Lire la suite
VERTICAL & HORIZONTAL

Écrit par :  Alain DELAUNAY

… *La croisée d'un axe vertical et d'un axe horizontal constitue l'épure symbolique de l'expérience humaine. La croix est l'archétype du partage. Aussi la retrouve-t-on investie dans les valeurs de justice, de connaissance et d'éthique. C'est elle qui articule les schèmes cognitifs ou symboliques de partition, répartition, position, opposition. Elle… Lire la suite
VOILIERS

Écrit par :  André MAURIC, Jean-Charles NAHON

Dans le chapitre "La stabilité"  : …  *Il est permis de dire, par une formule raccourcie très expressive, que la stabilité est la force propulsive du voilier. En effet, un voilier ne peut supporter de surface de voilure, ou ne peut donc disposer de force propulsive, que dans la mesure où sa stabilité le lui permet. La stabilité se mesure et s'exprime par le moment du couple de… Lire la suite

Afficher la liste complète (18 références)

Retour en haut

Médias

Médias de cet article dans l'Encyclopædia Universalis :

Demi-ellipse limite Centre d'inertie d'un solide

Retour en haut

Voir aussi

Retour en haut

Accueil - Contact - À propos
Consulter les articles d'Encyclopædia Universalis : 0-9 A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Consulter les articles d'Encyclopædia Britannica.
© 2012, Encyclopædia Universalis France S.A. Tous droits de propriété industrielle et intellectuelle réservés.

chargement du média