4. Définition générale de la stabilité
Moyennant la convention précédente, on allégera l'écriture en traitant comme un tout la configuration (q) et l'état de vitesse (q′), on notera donc s l'élément (q1, ..., qn ; q′1, ..., q′n) de R2n et se l'élément [(q1)e, ..., (qn)e ; 0, ..., 0], et on appelera voisinage de se dans R2n tout ensemble contenant une boule de centre se de rayon ρ non nul.
La stabilité de l'équilibre se consiste dans la propriété suivante : Quel que soit V, voisinage de se, on peut lui associer W, voisinage de se, tel que l'hypothèse s0 ∈ W implique :
L'instabilité consiste dans la négation de cette propriété. Si l'ensemble mécanique étudié est à liaisons indépendantes du temps, la stabilité éventuelle de la position d'équilibre définie par la valeur qe de q est une propriété indépendante du choix des paramètres ; la propriété ci-dessus énoncée sert donc également dans le cas du mouvement stationnaire (cf. chap. 2), ainsi que dans l'exemple du chapitre 1 où les ωj sont constants.
Compte tenu de cette définition précise de la stabilité, on peut choisir α > 0, arbitrairement petit, mais qui reste fixé dans la discussion de la stabilité de qe = 0, laquelle requiert seulement l'étude des mouvements sur un intervalle de temps tel que |q(t )| ≤ α.
On exploite souvent cette remarque en choisissant α si petit que les fonctions de q à faire intervenir dans l'étude puissent être remplacées par des développements limités. Ainsi, on remplace les équations du mouvement par d'autres qui semblent « voisines » et plus simples, notamment linéaires. Une telle linéarisation ne constitue pas une méthode mathématiq […]
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