5. La théorie de la stabilité
Pour la description mathématique de très nombreux systèmes physiques oscillatoires on est conduit à des équations ou systèmes différentiels dont il convient de rechercher les solutions stationnaires ou périodiques et d'étudier leurs propriétés de stabilité.
Un modèle relativement simple est fourni par l'équation :
où
x ∈
Rn, A matrice
n ×
n réelle et constante,
f (
x,
t ) application continue de :
dans
Rn, U étant un voisinage de l'origine, telle enfin que
f (0,
t ) = 0. Il est clair que
x = 0 est solution de (45) ou, comme l'on dit, un point critique. Mais que peut-on dire d'une solution dont la valeur initiale
x(0) est petite ? Sera-t-elle définie pour tout
t ≥ 0, et, dans l'affirmative, va-t-elle s'écarter notablement ou non de la solution d'équilibre
x = 0. Cela amène à préciser le concept suivant de stabilité : une solution
x(
t ), du système
dx/
dt = F(
x,
t ) définie pour tout
t ≥
t0 sera dite
stable si, pour tout ε > 0, il existe δ = δ(ε,
t0) > 0 tel que toute autre solution
y(
t ) définie pour
t ≥
t0 et vérifiant ∥
y(
t0) −
x(
t0)∥ ≤ δ satisfait à ∥
y(
t ) −
x(
t )∥ ≤ ε pour
t ≥
t0.
Si, de plus, y(t ) − x(t ) → 0 quand t → + ∞, on dira que la solution x(t ) est asymptotiquement stable.
On observera que, pour discuter la stabilité d'une solution x(t ) d'un système quelconque dx/dt = F(x, t ), on pourra toujours, par le changement x = x(t […]
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