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DIFFÉRENTIELLES ÉQUATIONS

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3. Le problème de Sturm-Liouville

• Position du problème

Considérons l'équation différentielle linéaire d'ordre n :

où p₀(t ), ..., p_n(t ), r(t ) sont des fonctions continues de la variable réelle t dans l'intervalle t ∈ [a, b], et p₀(t ) ≠ 0 pour t ∈ [a, b].

Imaginons un ensemble de m conditions aux limites du type :

où les α_i^j, β_i^j, γ_i sont des nombres donnés, les formes linéaires (24) étant supposées linéairement indépendantes par rapport aux 2 n variables u(a), u′(a), ..., u^(n-1)(a), u(b), ..., u^(n-1)(b), ce qui implique m ≤ 2n. On se propose de rechercher dans la classe des fonctions différentiables jusqu'à l'ordre n pour t ∈ [a, b] s'il existe des solutions du système :

Il semble commode de commencer cette étude par la discussion du problème homogène :

Pour résoudre (26), il suffit une fois construit un système fondamental de solutions de l'équation L(u) = 0, soit u₁(t ), u₂(t ), ..., u_n(t ), de rechercher la solution du système (26 […]

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Autres références

« DIFFÉRENTIELLES ÉQUATIONS » est également traité dans :

ANALYSE MATHÉMATIQUE: Dans le chapitre "Équations différentielles et équations aux dérivées partielles"
ASYMPTOTIQUES CALCULS: Dans le chapitre "Cas des solutions d'équations le champ réel et le champ complexe."
CALCUL INFINITÉSIMAL - Histoire: Dans le chapitre "Équations différentielles"
CARTWRIGHT MARY LUCY (1900-1998)
CAUCHY AUGUSTIN-LOUIS (1789-1857): Dans le chapitre "Équations différentielles"
CLAIRAUT ALEXIS CLAUDE (1713-1765)
DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Équations non linéaires: Dans le chapitre "Les équations de réaction-diffusion"
DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Sources et applications
ÉQUATION, mathématique: Dans le chapitre "Équations différentielles"
FORME: Dans le chapitre "Perturbations singulières"
HALPHEN GEORGES-HENRI (1844-1889)
HILBERT DAVID (1862-1943): Dans le chapitre "Problème 21 : monodromie des équations différentielles de Fuchs"
INTÉGRALES ÉQUATIONS: Dans le chapitre "Problème de Sturm-Liouville"
LAGRANGE JOSEPH LOUIS (1736-1813): Dans le chapitre "L'œuvre de Lagrange"
LIAPOUNOV ALEXANDRE MIKHAÏLOVITCH (1857-1918)
LITTLEWOOD JOHN EDENSOR (1885-1977)
MÉCANIQUE CÉLESTE: Dans le chapitre "Le problème des n corps"
ORTHOGONAUX POLYNÔMES: Dans le chapitre "Équations différentielles des polynômes orthogonaux"
PAINLEVÉ PAUL (1863-1933)
POINCARÉ HENRI (1854-1912): Dans le chapitre "L'œuvre scientifique"
SMALE STEPHEN (1930- )
STURM CHARLES FRANÇOIS (1803-1855)
SYMBOLIQUE CALCUL: Dans le chapitre "Applications de la transformation de Laplace"
SYSTÈMES DYNAMIQUES DIFFÉRENTIABLES: Dans le chapitre "Le pendule sans frottement, un système hamiltonien"
WEYL HERMANN (1885-1955): Dans le chapitre "Problèmes aux limites singuliers"
WHITTAKER sir EDMUND (1873-1956)

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Voir aussi

FONCTION DE GREEN • FORME LINÉAIRE • OPÉRATEUR ADJOINT • PROBLÈME DE STURM-LIOUVILLE • THÉORÈME DE HILBERT-SCHMIDT

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F960521

Auteurs de l'article

Christian COATMELEC (membre de l'Académie des sciences, professeur à l'université de Paris-VI)
Maurice ROSEAU (membre de l'Académie des sciences, professeur de mécanique à l'université de Paris-VI-Pierre-et-Marie-Curie)

Sommaire

Introduction
1. Les systèmes différentiels linéaires dans le champ réel
- Existence des solutions
- L'équation linéaire non homogène
- Le cas des systèmes à coefficients constants
- Le cas des systèmes à coefficients périodiques. La théorie de Floquet
- Stabilité des solutions
2. Les systèmes différentiels linéaires dans le champ complexe
- La structure des solutions dans le voisinage d'un point singulier
- Le cas des équations différentielles linéaires du second ordre
- Les équations différentielles de la physique mathématique
3. Le problème de Sturm-Liouville
- Position du problème
- Le système adjoint
- Le cas des systèmes différentiels autoadjoints du second ordre
- La fonction de Green
- Les fonctions propres et la théorie de Hilbert-Schmidt
4. Les systèmes différentiels non linéaires
- Les systèmes différentiels non linéaires dans le champ réel
- Les systèmes différentiels non linéaires dans le champ complexe
5. La théorie de la stabilité
6. Les solutions périodiques des systèmes différentiels
- La méthode des perturbations (H. Poincaré)
- La méthode de centrage (Kryloff-Bogoliuboff-Haag)
- Les méthodes topologiques
7. Intégration numérique des équations différentielles
- Méthode d'Euler
- Une famille de méthodes numériques
- Méthode des approximations successives
Bibliographie

Composition de l'article

Nombre de pages : 18 pages
Références : 26 références
Thèmes : 2 thèmes
Bibliographie : 10 références

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