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DIFFÉRENTIELLES ÉQUATIONS

3.  Le problème de Sturm-Liouville

  Position du problème

Considérons l'équation différentielle linéaire d'ordre n :

où p0(t ), ..., pn(t ), r(t ) sont des fonctions continues de la variable réelle t dans l'intervalle ∈ [ab], et p0(t ) ≠ 0 pour ∈ [ab].

Imaginons un ensemble de conditions aux limites du type :

où les αij, βij, γi sont des nombres donnés, les formes linéaires (24) étant supposées linéairement indépendantes par rapport aux 2 n variables u(a), u′(a), ..., u(n-1)(a), u(b), ..., u(n-1)(b), ce qui implique ≤ 2n. On se propose de rechercher dans la classe des fonctions différentiables jusqu'à l'ordre pour ∈ [ab] s'il existe des solutions du système :

Il semble commode de commencer cette étude par la discussion du problème homogène :

Pour résoudre (26), il suffit une fois construit un système fondamental de solutions de l'équation L(u) = 0, soit u1(t ), u2(), ..., un(), de rechercher la solution du système (26 […]

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