6. Les solutions périodiques des systèmes différentiels
Un problème très important pour certaines applications est la recherche de solution périodique de système du type dx/dt = f (x, t ), où f (x, t ), application continue dans Rn, est supposée périodique par rapport à la variable réelle t de période T (cas non autonome), ou encore du type dx/dt = f (x) (cas autonome).
On ne dispose d'aucune méthode d'investigation assez puissante pour répondre à ces questions de manière générale. Les méthodes existantes sont de deux sortes. Les unes, méthode de perturbation, méthode de centrage, permettant l'étude de systèmes quasi linéaires, c'est-à-dire de systèmes dans lesquels la partie non linéaire apparaît multipliée par un paramètre qu'on suppose petit ; le calcul de représentations asymptotiques des solutions périodiques est généralement possible, ainsi que l'étude de la stabilité de ces solutions. Les autres sont des méthodes topologiques qui fournissent pour certains systèmes fortement non linéaires des résultats d'existence de solutions périodiques.
• La méthode des perturbations (H. Poincaré)
Considérons l'équation :
Quand μ = 0 l'équation se réduit à x″ + x = 0 qui a pour solution générale x = a cos(t + ϕ), périodique de période 2 π, a et ϕ désignant des constantes arbitraires.
Supposons que ω est voisin de l'unité ou mieux que ω-2 = 1 − μη, η étant une fonction donnée de μ analytique dans le voisinage de 0,[…]
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