7. Paradoxes et contradictions
Ces découpages paradoxaux ont été découverts en 1924 par les mathématiciens polonais Stephan Banach (1892-1945) et Alfred Tarski (1902-1983) qui travaillaient sur la théorie de la mesure (théorie abstraite des aires et des volumes). Bien que ces découpages choquent profondément le sens commun, qui s'attend à ce qu'en déplaçant des morceaux d'un objet on n'en modifie pas le volume, il n'y a pas « paradoxe » au sens strict : aucune contradiction n'est introduite dans la théorie des ensembles. Ces découpages montrent seulement que le monde du continu mathématique et les conséquences de l'axiome du choix ne correspondent pas à nos attentes intuitives.
Le nombre de pièces permettant de dédoubler une sphère en deux sphères de même volume est 5 et l'on prouve qu'il est impossible de faire moins. Le paradoxe de Banach-Tarski se rencontre dans les espaces de dimension supérieure à 3 mais pas dans le plan, puisque l'aire est conservée par dissection quelconque, comme nous l'avons précisé.
Le fait que l'axiome du choix serve dans la preuve connue aujourd'hui qu'une sphère peut par décomposition en donner deux ne signifie pas que l'axiome du choix est indispensable pour cette preuve : il se pourrait qu'existe une preuve n'utilisant pas l'axiome et que nous ne l'ayons pas encore découverte. Cependant les logiciens qui ont développé des outils puissants d'analyse des démonstrations mathématiques ont établi que, sans l'axiome du choix, on ne pourrait pas effectuer le dédoublement miraculeux de la sphère. C'est donc bien l'axiome du choix qui est en cause. Notons cependant que, comme il intervient dans de nombreuses parties de l'analyse, personne aujourd'hui n'envisage de s'en passer. De plus, Kurt Gödel (1906-1978) a prouvé en 1938 que la théorie des ensembles avec l'axiome du choix est contradictoire si, et seulement si, celle sans l'axiome du choix l'est (autrement dit : on ne prend pas plus de risque de contradiction avec que sans). Personne n'a donc envie de se priver d'un outil aussi commode, même si cela fait du monde mathématique un monde étrange où l'intuition géométrique est malmenée.
Reposons les pieds sur terre et revenons aux découpages tridimensionnels polyédriques.
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