Géométrie

Articles

AFFINE APPLICATION

Écrit par :  Jacques MEYER

Soit E et F deux espaces vectoriels sur un corps commutatif K et A et B des espaces affines attachés à E et F. On dit qu'une application u de A dans B est une application linéaire affine (ou application affine) si, quelle que soit la famille finie d'éléments (Mi, λi), pour 1 ≤ i ≤ k ...  Lire la suite

AFFINES ESPACE & REPÈRE

Écrit par :  Jacques MEYER

Dans la conception intuitive de l'espace usuel, il n'y a pas d'origine privilégiée ; c'est une fois qu'une origine est choisie que cet espace devient un espace vectoriel. La structure d'espace affine formalise cette situation à partir de la notion de translation associée à un vecteur d'extrémités données, défini comme bipoint. Plus précisément, la ...  Lire la suite

AIRE MINIMALE SURFACES D'

Écrit par :  Cyril ISENBERG

Au xix^e siècle, le physicien belge Joseph Plateau découvrait que les membranes savonneuses formées dans des contours rigides en fil de fer représentaient une solution simple à certains problèmes mathématiques complexes qui exigent la détermination de surfaces d'aire minimale. Quelle est, par exemple, la forme de la surface d'ai ...  Lire la suite

ANALYSE MATHÉMATIQUE

Écrit par :  Jean DIEUDONNÉ

Dans le chapitre Géométrie différentielleUne des origines du calcul infinitésimal avait été l'étude des courbes planes (tangente, courbure, rectification, etc.), et un de ses succès au xviii^e siècle fut l'étude analogue des courbes gauches et des surfaces. Mais les résultats obtenus étaient relatifs à la position de la courbe ou surface dans l'espace (autrement dit, f ...  Lire la suite

APERÇU HISTORIQUE SUR L'ORIGINE ET LE DÉVELOPPEMENT DES MÉTHODES EN GÉOMÉTRIE (M. Chasles)

Écrit par :  Bernard PIRE

L'apport de Michel Chasles (1793-1880) en géométrie est caractéristique du fécond débat entre les diverses conceptions défendues par les mathématiciens français du xix^e siècle. Dans toutes ses recherches et son enseignement, Chasles a développé la géométrie projective et contribué de façon majeure à son essor et à sa diffusion. ...  Lire la suite

BARYCENTRE

Écrit par :  Jacques MEYER

Soit A un espace affine attaché à un espace vectoriel E (sur un corps commutatif K). On appelle « point M de A affecté de la masse λ » l'élément (M, λ) de l'ensemble A × K. Par définition, le barycentre de n points M1, M2, ..., Mn de A affectés des masses λ1, λ2, ..., λ ...  Lire la suite

CONIQUES

Écrit par :  Universalis, André WARUSFEL

L'étude des coniques a été pendant deux millénaires le terrain de prédilection des géomètres qui ont accumulé sur ce sujet d'innombrables théorèmes. Dès la fin du iii^e siècle avant J.-C., les mathématiciens avaient obtenu par des méthodes purement géométriques des résultats très complets : le Traité des sections coniques ...  Lire la suite

CONVEXITÉ

Écrit par :  Victor KLEE

La convexité, étude des ensembles et des fonctions convexes, constitue une branche de la géométrie et de l'analyse qui unifie des phénomènes à première vue totalement dissemblables. Elle intervient à divers niveaux dans des branches très variées des mathématiques : théorie des nombres, problèmes combinatoires, analyse fonctionnelle et app ...  Lire la suite

CONVEXITÉ - Ensembles convexes

Écrit par :  Victor KLEE

Un sous-ensemble C d'un espace vectoriel réel E est dit convexe si, pour tout couple de points quelconques de C, le segment qui a pour extrémités ces deux points est entièrement contenu dans C. Par exemple, un cube est convexe, mais sa surface ne l'est pas, car elle ne contient le segment d'extrémités x et y que si x ...  Lire la suite

COURBES ALGÉBRIQUES

Écrit par :  Luc GAUTHIER

En fondant la géométrie analytique, Descartes avait substitué au plan de la géométrie d'Euclide l'ensemble R² des couples de nombres réels et, de ce fait, à la notion de courbe, celle d'équation. La construction d'un point, puis la détermination d'un lieu géométrique se trouvaient ainsi remplacées par une représentation paramét ...  Lire la suite

DISSECTIONS GÉOMÉTRIQUES

Écrit par :  Jean-Paul DELAHAYE

Dans l'industrie de la confection, pour poser du papier peint dans une pièce aux formes compliquées, pour éviter trop de pertes en menuiserie, ainsi que dans bien d'autres activités artisanales se posent des problèmes de découpage et d'assemblage de figures. Certains de ces problèmes possèdent des solutions inattendues, ce qui a attiré l'attention ...  Lire la suite

ESPACE, mathématique

Écrit par :  Jean-Marc SCHLENKER

La géométrie antique, telle qu'elle apparaît dans les Éléments d'Euclide, propose une vision formalisée de l'espace. Elle traite d'objets géométriques idéalisés – points, droites, polyèdres, sections coniques, etc. – selon leurs propriétés d'incidence et leurs mesures (longueurs, aires, volumes). La description repose sur un petit nombre ...  Lire la suite

ESSAI POUR LES CONIQUES (B. Pascal)

Écrit par :  Bernard PIRE

Le premier écrit scientifique de Blaise Pascal (1623-1662) –  Essai pour les coniques, composé avant qu'il ait atteint l'âge de dix-sept ans et publié à Paris en février 1640 – révèle aux savants de l'époque le génie précoce de son auteur. Adoptant la méthode proposée par Girard Desargues (1591-1661) de considérer les cercles, les ellipses ...  Lire la suite

FERMAT : DÉTERMINATION DES TANGENTES À UNE COURBE

Écrit par :  Bernard PIRE

Magistrat exerçant à Toulouse et à Castres, Pierre de Fermat (1601-1665) consacrait aux mathématiques ses moments de loisirs. En 1629, il invente une méthode de recherche des maximums et des minimums qui apparaît comme un travail précurseur du calcul différentiel. En 1638, l'application de cette méthode à la détermination des tangentes à une courb ...  Lire la suite

FRACTALES

Écrit par :  Bernard PIRE

Certaines structures très irrégulières, souvent construites par itération, possèdent des symétries de dilatation caractéristiques : l'agrandissement d'une partie est semblable au tout. Le concept de fractalité unifie la description de nombreux objets mathématiques ou physiques et quantifie leur degré d'irrégularité. Il a été introduit en ...  Lire la suite

GÉOMÉTRIE

Écrit par :  François RUSSO

La géométrie est communément définie comme la science des figures de l'espace. Cette définition un peu incertaine risque de conduire à inclure dans la géométrie des questions qui ne sont géométriques que dans leur langage, mais relèvent en fait d'autres domaines. Tel est le cas de l'algèbre géométrique des Grecs qui parlait du « rectangle » de deu ...  Lire la suite

GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE CLASSIQUE

Écrit par :  Paulette LIBERMANN

L'histoire des courbes planes est intimement liée à l'histoire et aux développements du calcul infinitésimal, et les premiers résultats obtenus au xvii^e siècle sont directement issus de considérations géométriques et cinématiques (cf. calcul infinitésimal – Histoire). Les courbes dans l'espace à trois dimensions (dites ...  Lire la suite

GROUPES (mathématiques) - Groupes classiques et géométrie

Écrit par :  Jean DIEUDONNÉ

Jusque vers 1800, la géométrie dite « élémentaire » est restée à peu de chose près ce qu'elle était dans l'Antiquité, tant dans sa substance que dans ses méthodes (l'invention de la « géométrie analytique » ayant à peu près exclusivement servi à prolonger le champ d'action de la géométrie classique dans les directions de la géométrie algébrique et ...  Lire la suite

LES ÉLÉMENTS (Euclide)

Écrit par :  Bernard PIRE

Euclide d'Alexandrie (vers — 325-vers — 265) est peut-être le mathématicien le plus renommé de l'Antiquité ; pourtant, on ne sait presque rien de lui, sinon qu'il enseigna à Alexandrie et écrivit un traité, Les Éléments, qui rassemble en treize volumes tout le savoir mathématique de l'époque. L'ouvrage commence avec des définitions et cin ...  Lire la suite

PERSPECTIVE

Écrit par :  Marisa DALAI EMILIANI

Dans le chapitre La perspective géométriqueÉtant admis que la projection perspective, en tant que « cas » de la projection centrale, constitue une des méthodes projectives que la géométrie descriptive utilise pour représenter sur un plan, avec une exactitude mathématique, la forme, les dimensions et la position des objets dans l'espace, il importe de bien voir que les éléments néc ...  Lire la suite

POISSON ET NAMBU STRUCTURES DE

Écrit par :  Jean Paul DUFOUR

Faisant référence à la mécanique analytique et à ses anciens maîtres Joseph Louis Lagrange (1736-1813) et Pierre Simon de Laplace (1749-1827), Siméon Denis Poisson (1781-1840) écrit, dans l'introduction de son mémoire au Journal de l'École polytechnique de 1809 : « Il ne semblait pas que cette importante théorie pût encore être perfection ...  Lire la suite

PROJECTIFS ESPACE & REPÈRE

Écrit par :  Jacques MEYER

 Espace projectif. Étant donné un espace vectoriel E sur un corps commutatif K, on considère dans E′ = E — {0} la relation G entre deux éléments x et y définie par : La relation G est une relation d'équivalence et l'ensemble quotient E′/G est appelé espace projectif déduit de E et est noté P(E). L'ensemble E est ...  Lire la suite

PROJECTIVES APPLICATIONS

Écrit par :  Jacques MEYER

Soit E et F deux espaces vectoriels sur un même corps commutatif K, P(E) et P(F) les espaces projectifs déduits de E et de F, f une application linéaire de E dans F et N = ker (f) le noyau de f. Comme l'image par f d'une droite de E non contenue dans N est une droite de F, la restriction de  ...  Lire la suite

QUADRIQUES

Écrit par :  André WARUSFEL

Les surfaces de l'espace matériel, que nous connaissons par leur emploi, en architecture par exemple, étaient autrefois classées en « corps ronds » et « corps droits ». La sphère et le cube sont des surfaces typiques de ces deux familles. Les corps ronds sont, essentiellement, la sphère déjà citée, le cylindre et le cône ...  Lire la suite

THÉORIE DES OBJETS FRACTALS (B. Mandelbrot)

Écrit par :  Bernard PIRE

Benoît Mandelbrot (1924-2010) rassemble dans l'essai Les Objets fractals : forme, hasard et dimension les résultats de ses travaux effectués au centre de recherche Thomas-Watson de la société I.B.M. à Yorktown Heights (États-Unis) sur les objets fractals. Comme il l'indique dans son introduction, il étudie « des objets naturels très diver ...  Lire la suite

VARIÉTÉS DIFFÉRENTIABLES

Écrit par :  Claude MORLET

On a l'habitude de considérer que la notion de variété différentiable est due à B. Riemann. C'est en effet Riemann qui proposa d'appliquer à l'étude des ensembles d'objets non géométriques les méthodes qui avaient été inventées pour les courbes et les surfaces. Cette idée se révéla extrêmement féconde ; elle fut longuement développée par les géomè ...  Lire la suite