9. Dodécaèdre rhombique
Malgré le résultat négatif de Dehn indiquant que le tétraèdre régulier ne peut se décomposer en polyèdre redonnant un cube, certains polyèdres peuvent se transformer en d'autres par dissection polyédrique et c'est à ce jeu délicat que s'adonnent les amateurs.
Le dodécaèdre rhombique est un polyèdre très intéressant car il peut paver l'espace. Il possède douze faces identiques, chacune ayant la forme d'un losange dont les diagonales sont dans un rapport de √2 (cette seule information le définit avec précision).
On peut transformer deux cubes identiques par dissection polyédrique en un dodécaèdre rhombique. En guise d'exercice à la pensée géométrique sans figure, voici la description de ce découpage qui ne sera illustré nulle part dans l'article : on divise le premier cube en six pyramides identiques à base carrée, chacune ayant comme socle une face du cube et chacune ayant comme pointe le centre du cube. On colle les six pyramides sur les faces du second cube, et cela donne... le dodécaèdre rhombique.
Un autre découpage polyédrique simple est celui qui fait passer de deux octaèdres tronqués à un cube (fig. 7). Parmi les rares résultats concernant les polyèdres, on trouve celui qui affirme que l'octaèdre tronqué, le dodécaèdre rhombique et le cube sont équivalents par dissection polyédrique (fig. 8).
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