DISSECTIONS GÉOMÉTRIQUES

6.  Découpage dans l'espace

Le passage à la dimension 3 change entièrement la situation de la théorie des découpages. En dimension 3, aucun théorème général équivalent à celui de Lowry-Wallace-Bolyai-Gerwein n'est connu. On sait au contraire, depuis presque un siècle, que certains polyèdres ne sont pas décomposables par dissection polyédrique en d'autres.

La décomposition par dissection polyédrique du tétraèdre régulier était l'objet du troisième problème, parmi vingt-trois, posé par David Hilbert (1862-1943) en 1900. Ce problème fut d'ailleurs le premier de la série à être résolu puisque, avant même la fin de l'année 1900, Max Dehn (1878-1952) avait associé un coefficient à chaque polyèdre, et montré que ce coefficient ne change pas quand on procède à une dissection polyédrique. Cette propriété d'invariance du coefficient (appelé invariant de Dehn) implique que deux polyèdres qui n'ont pas le même coefficient ne sont pas décomposables par dissection polyédrique l'un en l'autre. En 1965, Jean-Pierre Sydler a prouvé qu'avoir le même invariant de Dehn était non seulement nécessaire, mais suffisant pour que deux polyèdres soient décomposables par dissection polyédrique l'un en l'autre. En calculant l'invariant de Dehn des cinq polyèdres réguliers – tétraèdre, octaèdre, cube, dodécaèdre, icosaèdre – on constate qu'ils sont tous différents ; par conséquent aucun découpage en polyèdres plus petits ne permet de passer de l'un d'eux à un autre.

Le passage à la dimension 3 change aussi la situation concernant la décomposition par dissection ensembliste quelconque. Tout d'abord, on ne réussit pas à établir que, si une dissection fait passer d'un polyèdre à un autre, alors les deux polyèdres ont le même volume (pour la dimension 2, Stephan Banach avait montré en 1923 que, si l'on peut passer d'un polygone à un autre par dissection quelconque, alors ceux-ci ont la même aire).

Pis – et c'est le paradoxe de Banach-Tarski –, on établit qu'une sphère se décompose en un nombre fini de morceaux, qui, une fois déplacés (sans déformation), se recombinent en deux sphères identiques à la sphère de départ. Plus généralement, une sphère peut être transformée en un cube sans aucune condition de volume sur la sphère initiale et le cube final. Et plus généralement encore, si deux parties A et B de l'espace sont de taille bornée et contiennent chacune au moins une sphère de rayon positif, alors on peut décomposer A en un nombre fini de morceaux qui après déplacements reconstitueront B.