L'idée de continuité remonte à l'Antiquité, en particulier aux mathématiciens et philosophes grecs, dont Aristote (385 env.-322 av. J.-C.), et a longuement évolué, mais elle n'a pu prendre sa forme mathématique générale et rigoureuse que lorsque les premiers éléments de la théorie axiomatique des espaces topologiques ont été établis, c'est-à-dire en 1914. Selon Nicolas Bourbaki (pseudonyme collectif regroupant, depuis 1935, des mathématiciens français), Bernhard Riemann (1826-1866) « doit être considéré comme le créateur de la topologie » (bien qu'il n'ait qu'entrevu la théorie générale des espaces topologiques). Georg Cantor (1845-1918) a introduit, entre 1872 et 1884, les notions d'ensemble ouvert et d'ensemble fermé de la droite puis d'espaces à n dimensions. David Hilbert (1862-1943) utilise en 1902 une notion de voisinage, en un sens restreint, et Felix Hausdorff (1868-1942) définit axiomatiquement les espaces topologiques en 1914.
La continuité est l'état ou la propriété de ce qui est continu, et l'un ou l'autre de ces mots du langage courant qui expriment l'idée de non-interruption (dans l'espace ou dans le temps) sont ou furent employés aussi, en des sens plus ou moins spécialisés, dans plusieurs domaines ou disciplines : mathématique bien sûr, mais aussi architecture, botanique, droit, filature, médecine, musique, philosophie, phonétique, physique...
1. Continuité d'une fonction réelle d'une variable réelle
Intuitivement, on peut penser que le tracé d'une courbe est continu s'il peut se faire entièrement sans lever le crayon et que, dans le cas contraire, il est discontinu.
Soient donc une courbe dessinée dans un plan et un point A sur cette courbe. On pourra dire qu'il y a continuité au point A si, en partant d'un point de la courbe relativement proche de A, situé d'un côté ou de l'autre de ce dernier, on peut atteindre A sans lever le crayon. En interprétant cette situation en termes de fonction réelle d'une variable réelle, cette propriété de la courbe aux alen […]
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