Topologie

Articles

ALGÈBRE

Écrit par :  Jean-Luc VERLEY

Dans le chapitre Algèbre topologiqueLa continuité des opérations algébriques est d'usage courant dans l'analyse classique ; depuis le début du xix^e siècle, en liaison avec l'introduction des nouveaux êtres mathématiques considérés plus haut, les mathématiciens allaient rencontrer dans de nombreux problèmes de nature variée des ensembles munis d'une notion de conv ...  Lire la suite

ANALYSE MATHÉMATIQUE

Écrit par :  Jean DIEUDONNÉ

Dans le chapitre L'avènement de la théorie des ensembles et de la topologieLa notion de limite est la base même du calcul infinitésimal ; mais, bien que certains d'entre eux, dont d'Alembert, aient approché d'une définition pour nous correcte, les mathématiciens du xviii^e siècle étaient hors d'état de développer une théorie mathématique rigoureuse du « calcul », sur le modèle de la géométrie grecque, ...  Lire la suite

COMPACITÉ, mathématique

Écrit par :  André WARUSFEL

La notion de compacité est, en quelque sorte, à la base de toute l'analyse moderne. En ce sens, elle vient aussitôt après celles de limite et de fonction continue, auxquelles elle apporte des compléments indispensables. Pourtant, il faudra de nombreux siècles pour qu'elle soit découverte, après que Cauchy (1789-1857) eut enfin apporté la clarté né ...  Lire la suite

CONNEXITÉ, mathématique

Écrit par :  André WARUSFEL

L'analyse moderne est née de l'étude des fonctions réelles f définies sur un intervalle I du corps ℝ des nombres réels, et tout particulièrement de celles qui sont continues. On sait qu'alors f est bornée, admet un maximum et un minimum et est même uniformément continue, si I est un segment. Mais la plus importante de ses proprié ...  Lire la suite

CONTINUITÉ, mathématique

Écrit par :  Jean-Marie PRUVOST-BEAURAIN

L'idée de continuité remonte à l'Antiquité, en particulier aux mathématiciens et philosophes grecs, dont Aristote (385 env.-322 av. J.-C.), et a longuement évolué, mais elle n'a pu prendre sa forme mathématique générale et rigoureuse que lorsque les premiers éléments de la théorie axiomatique des espaces topologiques ont été établis, c'est-à-dire ...  Lire la suite

FONDEMENTS DE LA TOPOLOGIE ALGÉBRIQUE (H. Poincaré)

Écrit par :  Bernard PIRE

Henri Poincaré (1854-1912) est considéré comme l'inventeur de la topologie algébrique et différentielle. L'Analysis situs, ou géométrie de situation, qu'il développe à partir de 1894, alors qu'il est professeur à la Sorbonne et à l'École polytechnique, concerne les propriétés invariantes d'une figure déformée de façon continue. La théorie ...  Lire la suite

LIMITE (mathématique)

Écrit par :  Jean-Marie PRUVOST-BEAURAIN

La notion mathématique de limite a été introduite en 1735 par le mathématicien anglais Benjamin Robins comme ce vers quoi tendent, sans jamais l'atteindre, certains rapports de quantités variables. Précisée en 1800 par le mathématicien et physicien allemand Carl Friedrich Gauss pour les suites de nombres réels, puis en 1823 par le mathématicien fr ...  Lire la suite

MÉTRIQUES ESPACES

Écrit par :  Jean-Luc VERLEY

La notion d'espace métrique, introduite en 1906 par M. Fréchet et développée peu après par F. Hausdorff, est directement issue d'une analyse des principales propriétés de la distance usuelle. L'extension aux espaces métriques des propriétés de l'espace euclidien qui sont définissables à partir de la distance seule introduit un langage géométrique ...  Lire la suite

NOEUDS (THÉORIE DES)

Écrit par :  Jean BRETTE

Depuis le xix^e siècle, les mathématiciens étudient les nœuds, et des objets voisins comme les chaînes ou les tresses, afin de comprendre leur géométrie, de les comparer et de les classer.  Intuitivement et mathématiquement, deux nœuds sont dits équivalents si l'on peut déformer l'un pour lui donner la forme de l'autre. Si ...  Lire la suite

NORMÉS ESPACES VECTORIELS

Écrit par :  Robert ROLLAND, Jean-Luc VERLEY

L'analyse fonctionnelle linéaire, en tant que théorie générale, s'est créée au début du xx^e siècle, autour des problèmes posés par les équations intégrales. Entre 1904 et 1906, D. Hilbert (1862-1943) est amené à étudier des développements en séries de fonctions orthogonales, ainsi que des formes quadratiques à une infinité de v ...  Lire la suite

RUBAN DE MÖBIUS (topologie)

Écrit par :  Bernard PIRE

Dans un mémoire, présenté à l'Académie des sciences mais qui ne fut découvert qu'après sa mort, August Ferdinand Möbius (1790-1868) discute les propriétés de surfaces unilatères, c'est-à-dire n'ayant qu'une seule face et une seule frontière. Il cite en particulier le paradoxal ruban qui porte son nom et qu'il a étudié en 1858 alors qu'il répondait ...  Lire la suite

SINGULARITÉS DES FONCTIONS DIFFÉRENTIABLES, la théorie mathématique et ses applications

Écrit par :  Alain CHENCINER

De la topologie différentielle à la dynamique qualitative, en passant par la géométrie analytique et la topologie algébrique, les « singularités » ont bien des incarnations en mathématiques ; mais cela n'exclut pas une certaine unité : qu'il s'agisse des points où la dérivée d'une application n'est pas de rang maximal, des points où un espace anal ...  Lire la suite

TOPOLOGIE

Écrit par :  Claude MORLET

Considérons les trois surfaces représentées sur la figure ci-dessous. L'intuition nous apprend qu'il existe entre les deux premières des propriétés communes que la troisième ne possède pas : on peut déformer continûment les deux premières l'une dans l'autre, mais aucune d'entre elles ne peut être déformée en la troisième. La topologie est ...  Lire la suite

TOPOLOGIE - Topologie algébrique

Écrit par :  Claude MORLET

Inventée au début du xx^e siècle pour résoudre des problèmes géométriques, la topologie algébrique connut un grand développement grâce à l'introduction de constructions algébriques de plus en plus abstraites. Pour clarifier l'exposé, on a décomposé cet article en deux parties. Dans la première partie (chapitres 1 à 5), les probl ...  Lire la suite

TOPOLOGIE - Topologie générale

Écrit par :  Claude MORLET

Les notions de continuité et de limite ont une origine intuitive et l'on se propose d'analyser ici cette intuition. Considérons, par exemple, la description de la tangente T à une courbe telle qu'on la trouve dans les manuels classiques de géométrie élémentaire : Si M varie sur Γ, la corde M0M varie continûment et, si M tend vers M ...  Lire la suite

VARIÉTÉS DIFFÉRENTIABLES

Écrit par :  Claude MORLET

On a l'habitude de considérer que la notion de variété différentiable est due à B. Riemann. C'est en effet Riemann qui proposa d'appliquer à l'étude des ensembles d'objets non géométriques les méthodes qui avaient été inventées pour les courbes et les surfaces. Cette idée se révéla extrêmement féconde ; elle fut longuement développée par les géomè ...  Lire la suite