La notion de compacité est, en quelque sorte, à la base de toute l'analyse moderne. En ce sens, elle vient aussitôt après celles de limite et de fonction continue, auxquelles elle apporte des compléments indispensables. Pourtant, il faudra de nombreux siècles pour qu'elle soit découverte, après que Cauchy (1789-1857) eut enfin apporté la clarté nécessaire aux infiniment petits du xviiie siècle.
Il existe de nombreuses définitions équivalentes de la proposition « A est une partie compacte de l'ensemble ℝ des nombres réels ». Celle-ci est certainement la plus simple : A est compacte si, et seulement si, toute fonction continue définie sur A et à valeurs réelles est bornée.
Ainsi ℝ n'est pas compact, puisque la fonction identité, qui à x associe x lui-même, est continue mais non bornée. Ce même ensemble, privé du nombre 0 n'est pas davantage compact, comme on le voit en considérant la fonction inverse qui à x associe 1 /x. En revanche, toute partie bornée et fermée de ℝ est compacte, et ce sont d'ailleurs les seules (rappelons que A est fermée si, et seulement si, elle contient les limites des suites convergentes définies à partir d'éléments de A).
Qu'être bornée et fermée soient deux conditions nécessaires pour qu'une partie soit compacte résulte aussitôt de la définition (considérer les fonctions définies par |x – a| et 1 /|x – a| où a est un nombre convenable). La réciproque est vraie, comme on vient de le dire : elle se démontre assez facilement par dichotomie. S'il existait une fonction f continue et non bornée de A dans ℝ, on pourrait construire une suite de segments emboîtés Sn dont la largeur tendrait vers 0 sur lesquels f ne serait pas bornée, ce qui contredirait la continuité de f au point commun à tous les segments Sn. L'exemple le plus simple de compact réel est donc le segment [a, b], ensemble des réels compris (au sens large) entre a et b, mais il en existe beaucoup d'autres : par exemple une réunion finie de segments, ou même l'ensemble formé de 0 et de tous les réels de la forme 1 […]
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