3. Recherches diverses
Jacobi consacra de nombreux travaux à la transformation des intégrales et apporta une contribution essentielle à la théorie des équations différentielles et des équations aux dérivées partielles. C'est à cela que se rattachent ses apports au calcul des variations, à la dynamique des solides et à la mécanique céleste – problème des trois corps, perturbations des mouvements planétaires.
L'algèbre lui doit d'importantes recherches sur les formes quadratiques et une exposition devenue classique de la théorie des déterminants, prélude au mémoire sur les déterminants fonctionnels appelés de nos jours jacobiens. Il perfectionne la théorie de l'élimination et enseigne à représenter les racines d'une équation algébrique par des intégrales définies ou par des séries. Il étudie les points communs aux courbes et aux surfaces algébriques, et trouve directement le nombre des tangentes doubles d'une courbe plane, établi déjà par J. Plücker en utilisant la dualité.
En géométrie infinitésimale, on peut signaler sa détermination de la sphère osculatrice à une courbe gauche et sa généralisation du théorème de Gauss sur l'aire d'un triangle formé par des arcs de géodésiques.
L'enseignement de Jacobi est un des premiers à rompre avec la coutume universitaire d'exposition didactique de questions déjà résolues. Il expose au contraire à ses élèves ses propres travaux au fur et à mesure de leur élaboration. Les notes manuscrites de ses étudiants n'ont pas été toutes publiées, mais ses Œuvres en contiennent un catalogue.
Cependant, ses Vorlesungen über Dynamik (Leçons sur la dynamique), professées en 1842-1843, ont été éditées par A. Clebsch (1833-1872) en 1866. Dès sa parution, cet ouvrage, où Jacobi prolonge l'œuvre de systématisation entreprise par Lagrange, dans sa Mécanique analytique, et poursuivie par Hamilton, devint un grand classique.
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