2. Fonctions elliptiques
Dans l'hiver 1826-1827, Jacobi, qui ignorait les travaux non encore publiés d'Abel, écrivit ses premiers essais sur les fonctions elliptiques obtenues par inversion des intégrales elliptiques (cf. abel [n.h.], analyse mathématique, chap. 2). A. M. Legendre remarqua ses travaux et signala « la grande sagacité de l'auteur et la fécondité de ses méthodes ». C'est alors que débuta la correspondance entre le jeune chercheur et le vieux et opiniâtre mathématicien français.
Son traité, Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum, publié en 1829, expose les premières propriétés et applications de ces nouvelles fonctions.
Les mémoires ultérieurs complètent ces résultats et donnent d'innombrables applications à la géométrie et à la théorie des nombres. Signalons, par exemple, l'établissement de la relation entre les rayons et la distance des centres de deux cercles dont l'un est inscrit et l'autre circonscrit à un même polygone de n côtés, la détermination des géodésiques des quadriques, la quadrature des quadriques de révolution. En arithmétique, l'un des plus beaux résultats est la démonstration de la possibilité de décomposer tout nombre entier en une somme de quatre carrés ; il précise le nombre de telles décompositions pour un entier n : si n est impair, ce nombre est égal à 8 fois la somme de tous les diviseurs de n ; si n est pair, c'est 24 fois la somme de tous les diviseurs impairs de n.
Généralisant les fonctions elliptiques, Jacobi montre que l'inversion des intégrales :
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