Le calcul infinitésimal des fonctions de plusieurs variables a eu un développement plus tardif que celui des fonctions d'un seul argument. Inauguré avec un siècle de retard, il ne parvient à établir solidement ses fondements qu'au début du xxe siècle.
Ce n'est qu'aux environs de 1930 que sont abordés les problèmes difficiles de cette branche de l'analyse, très utilisée depuis lors.
1. La préhistoire
• Le formalisme des dérivées partielles
Avant d'étudier le comportement d'une fonction f (x,y) de deux variables, lorsque x et y varient simultanément et indépendamment, on commence par faire varier x et y successivement. Fixons la valeur de y : la dérivée de la fonction x ↦ f (x,y), lorsqu'elle existe, s'appelle la dérivée partielle ∂f/∂x (x,y) de f par rapport à x (à y constant). La notation utilisant le ∂ pour désigner la dérivation partielle, par opposition au d désignant la dérivation ordinaire, a été préconisée par Legendre (1786) et vulgarisée par Jacobi (1841). Si, maintenant, on fait varier x et y en fonction d'une même variable t, on trouve que :
Les dérivées partielles apparaissent, en 1755, dans le traité Institutiones calculi differentialis d'Euler, et, en 1747, chez A. Clairaut. Ils y ont reconnu l'outil de base du calcul différentiel à plusieurs variables. Malheureusement, cette notion est essentiellement liée au choix d'un système de coordonnées.
Par exemple, considérons les formules W = RI2 = EI = E2/R, qui traduisent un cas particulier des lois d'Ohm en électricité. On constate que le symbole ∂W/∂I est égal à 2 RI, E ou 0 selon l'expression de W que l'on adopte. L'explication de ce paradoxe vient de ce que la dérivation par rapport à I n'a pas la même signification selon que […]
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