2. Axiomatiques ouvertes
Ces deux exemples relatifs, le premier, à l'arithmétique, le second, à la géométrie élémentaire, concernent des axiomatiques fermées, qui représentent sous une forme strictement déductive des sciences édifiées depuis longtemps. Ce sont des systèmes d'axiomes, inspirés par un modèle unique (par exemple, l'espace euclidien à trois dimensions) et qui ne s'appliquent en définitive qu'à ce seul modèle.
La mathématique contemporaine s'intéresse davantage aux axiomatiques ouvertes édifiées dans un souci d'unification et de fécondité. Ainsi, le point de départ de la théorie axiomatique des espaces vectoriels est l'analogie que l'on constate entre divers énoncés tels que : « La projection de la résultante de deux forces est la résultante de leurs projections », ou « La dérivée de la somme de deux fonctions est la somme des dérivées de ces fonctions ». Pour pouvoir traiter les forces, les fonctions, les vitesses, etc., de la même manière et les englober dans une théorie unificatrice, G. Peano a formulé en 1888 les axiomes des espaces vectoriels. Il apparut alors que ces axiomes s'appliquaient à bien d'autres situations et ce fait a mis en évidence de nouvelles analogies, plus cachées, entre des théories d'apparences très différentes. En outre, l'algèbre linéaire est un algorithme qui invite à engendrer de nouveaux objets mathématiques à propos desquels on peut se poser de nouveaux problèmes. De plus, l'élargissement du champ d'application de la théorie a provoqué un élargissement de l'axiomatique, suscitant par exemple le passage des espaces vectoriels (sur un corps) aux modules (définis sur un anneau). Cela montre la fécondité d'une axiomatique ouverte.
Un exemple encore plus spectaculaire d'axiomatique ouverte est constitué par l'algèbre homologique, axiomatisée grâce aux efforts de J. Leray, H. Cartan, S. Eilenberg et d'autres, entre 1940 et 1950. Destinée primitivement à rendre compte de l'aspect algébrique de la topologie combinatoire (dont les bases avaient été jetées par H. Poincaré), l'algèbre homologique a rapidement trouvé des applications dans l'étude des groupes de Lie, des groupes finis, des fonctions de plusieurs variables, etc., et cette théorie envahit progressivement tous les domaines des mathématiques pures.
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