SPECTRALE THÉORIE

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Théorie spectrale de Hilbert

Soit u un endomorphisme continu normal d'un espace hilbertien E. La sous-algèbre unitaire fermée autoadjointe A de L(E) engendrée par u est une C*-algèbre commutative unitaire, dont le spectre s'identifie canoniquement à celui de u (cf. algèbres normées). De plus, la transformation de Gelfand est un isomorphisme de A sur l'algèbre C(sp(A)) des fonctions continues sur le spectre de A. L'isomorphisme réciproque définit un morphisme ϕ de C(sp(A)) dans l'algèbre unitaire L(E) ; c'est l'unique morphisme de C(sp(A)) dans L(E) tel que ϕ(z) =u, où z est l'injection canonique de sp (A) dans C. Pour tout élément f de C(sp (A)), l'endomorphisme ϕ() se note encore (u). Cette théorie permet donc de définir un calcul fonctionnel portant sur les fonctions continues de u. En particulier, u* = ϕ(). L'objet de la théorie spectrale de Hilbert est d'étendre le calcul fonctionnel à des fonctions plus générales. On observe à cet effet que, pour tout couple (xy) d'éléments de E, l'application :

est (cf. intégration et mesure, chap. 4) une mesure de Radon sur sp(u). De plus, l'application :
est sesquilinéaire hermitienne. Enfin, on a :

Les mesures μx,y s'appellent mesures spectrales associées à u. On dit qu'une fonction f définie sur sp(u) à valeurs complexes est u-mesurable si, pour tout couple (xy) d'éléments de E, cette fonction est μx,y-mesurable. On note L(u) l'algèbre des classes de fonctions u-mesurables essentiellement bornées et, pour tout nombre réel ≥ 1, on note Lp(u) l'espace vectoriel des classes de fonctions u-mesurables appartenant à Lpx,y) pour tout couple (x, y) d'éléments de E. On démontre alors le théorème fondamental suivant : Pour tout élément f de L1(u), il existe un élément et un seul de L(E), noté (u), tel que, pour tout couple (x, y) d'éléments de E, on ait :

C'est pourquoi (u) se note encore :

où μ désigne la mesure vectorielle correspondant aux mesures scalaires μx,y. En particulier, on a les formules de décomposition spectrale suivantes :

De plus, l'application ↦ (u) est linéaire, et [(u)]* = f̄ (u*). En outre, po [...]

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  • : ancien élève de l'École normale supérieure, agrégé de l'Université, professeur au lycée Buffon, Paris
  • : agrégé de l'Université, ancien élève de l'École normale supérieure, professeur de mathématiques spéciales

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Pour citer l’article

Lucien CHAMBADAL, Jean-Louis OVAERT, « SPECTRALE THÉORIE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 22 septembre 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/theorie-spectrale/