POTENTIEL THÉORIE DU

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Théorèmes et principes fondamentaux

Balayage

On appelle S-fonction une fonction u localement bornée inférieurement qui vérifie, pour toute boule B(x, R), la relation :

dσ est la mesure-aire de ∂B et ∫* l'intégrale supérieure.

L'utilité de ces fonctions provient de ce que l'enveloppe inférieure d'une famille de S-fonctions localement bornée inférieurement est une S-fonction et que la régularisée semi-continue inférieurement d'une S-fonction est hyperharmonique.

Soit ω un ouvert borné de Rn, E ⊂ ω, et ϕ une fonction ≥ 0 sur E. On note (RϕE)ω ou RϕE l'enveloppe inférieure des fonctions v hyperharmoniques ≥ 0 dans ω qui majorent ϕ sur E. La fonction RϕE s'appelle la réduite de ϕ sur E et est une S-fonction ; c'est une fonction croissante de E, positivement homogène et sous-additive en ϕ.

La proposition 4 montre que RϕE est harmonique, ou égale à + ∞, en dehors de E.

Si ϕ est la trace d'une fonction surharmonique ≥ 0, la régularisée ûRvE, alors surharmonique, est appelée la balayée de v sur E. Si E est suffisamment régulier (une boule, par exemple), la balayée vaut v sur E ; et, si v est un potentiel Gμ, la balayée, majorée par Gμ, est encore un potentiel qui vaut Gμ sur E. On peut donc écrire :

On dit que μE est la balayée de μ sur E et que μE engendre le même potentiel que Gμ sur E. On dit de façon imagée que l'on a balayé les masses sur E. C'est en fait ce qui se passe : si E est toujours un compact suffisamment régulier, μE est alors constituée des masses de μ portées par E, auxquelles viennent s'ajouter les masses de μ qui n'étaient pas portées par E. Une étude approfondie donne un résultat plus précis pour E quelconque.

Principe de domination

Plusieurs formes plus ou moins fortes du principe de domination peuvent être données, dont celle-ci : Si, dans un ouvert ω, une fonction surharmonique majore un potentiel Gμ, localement borné sur le support de μ, elle le majore partout. Si Gμ était continu, il ne s'agirait de rien d'autre que du principe du minimum.

Capacité

Soit K un compact d'un ouvert borné ω de Rn. On appelle potentiel capacitaire de K la balayée ûR1K de 1 s [...]

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Pour citer l’article

Arnaud de la PRADELLE, « POTENTIEL THÉORIE DU », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 17 juin 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/theorie-du-potentiel/