TCHEBYCHEV PAFNOUTIÏ LVOVITCH (1821-1894)
Théorie de l'approximation
Ces recherches pratiques inspirent à Tchebychev l'étude de l'approximation des fonctions continues par des polynômes. Indépendamment de Weierstrass, il démontre la possibilité d'approcher toute fonction continue f, uniformément sur un intervalle compact[a, b], par une suite de polynômes de degré croissant. Ce résultat qualitatif est complété par une étude précise des polynômes de meilleure approximation Pn de degré donné n (cf. Représentations et approximations des fonctions, chap. 5 et 8). Il prouve la caractérisation suivante : « Parmi les polynômes π de degrés ≤ n, le polynôme Pn est le seul pour lequel :
Appliquant ce résultat à des problèmes variés, il met en évidence le rôle primordial du polynôme de Tchebychev Tn de degré n. Parmi les polynômes dont le monôme de plus haut degré est 2n-1xn, le polynôme Tn est celui qui s'écarte le moins de 0 sur l'intervalle [− 1, + 1]. Ce polynôme satisfait à la propriété : Tn(cos θ) = cos nθ. Par exemple, sachant que :
En outre, on a :
Le rôle du polynôme Tn apparaît mieux dans la représentation « géométrique » moderne suivante. Dans l'espace vectoriel Pn des polynômes d'une variable de degré ≤ n, l'ensemble des polynômes π tels que :
L'œuvre de Tchebychev dans le domaine de la théorie constructive des fonctions a eu des prolongements considérables, spécialement en ex-U.R.S.S. Après le maître, ce sont principalement les frères Markov, Serge Bernstein, C. de La Vallée-Poussin, D. Jackson qui ont transmis le flambeau. L'essor de l'analyse numérique consécutif à l'invention des ordinateurs a remis ces travaux à l'ordre du jour, tandis que le bricolage des systèmes articulés est tombé en désuétude.
En prolongeant les idées de Tchebychev, on aboutit à toutes les théories d'optimisation qui jouent un si grand rôle dans les mathématiques appliquées contemporaines, et plus particulièrement à la théorie du contrôle optimal.
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Écrit par
- Georges GLAESER : professeur à la faculté des sciences de Strasbourg
Classification
Pour citer cet article
Georges GLAESER. TCHEBYCHEV PAFNOUTIÏ LVOVITCH (1821-1894) [en ligne]. In Encyclopædia Universalis. Disponible sur : (consulté le )
Média
Mécanisme articulé
Encyclopædia Universalis France
Autres références
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FONCTIONS REPRÉSENTATION & APPROXIMATION DES
- Écrit par Jean-Louis OVAERT, Jean-Luc VERLEY
- 18 453 mots
- 6 médias
...les fonctions polynomiales sont remplacées par des polynômes trigonométriques. Ces deux exemples se placent dans la théorie générale des systèmes de Tchebychev : on se donne un sous-espace En de dimension n + 1 de l'espace C([α, β]) qui est régulier, c'est-à-dire tel que tout élément de... -
LIAPOUNOV ALEXANDRE MIKHAÏLOVITCH (1857-1918)
- Écrit par Universalis
- 503 mots
Mathématicien et physicien russe, membre de l'Académie des sciences. Après des études à l'université de Saint-Pétersbourg, il est assistant puis professeur à l'université de Kharkov. En 1902, il est nommé professeur à l'université de Saint-Pétersbourg.
Élève...
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NUMÉRIQUE CALCUL
- Écrit par Jean-Louis OVAERT
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À propos d'une question de mécanique (régulateur de Watt),Tchebychev est amené à rechercher l'optimisation de l'approximation de f par P, n étant donné. Cela revient à choisir les points α0, α1, ..., αn de sorte que :soit le plus petit possible. On se ramène par homothétie et translation...
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STOCHASTIQUES PROCESSUS ou PROCESSUS ALÉATOIRES
- Écrit par Maurice GIRAULT
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Le calcul des probabilités classique s'applique à des épreuves où chaque résultat possible (ou éventualité) est un nombre. Or il existe beaucoup de situations réelles relevant de modèles aléatoires, mais d'une nature plus complexe. Considérons, par exemple, l'évolution d'une rivière : en...
Voir aussi
