TCHEBYCHEV PAFNOUTIÏ LVOVITCH (1821-1894)

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Théorie de l'approximation

Ces recherches pratiques inspirent à Tchebychev l'étude de l'approximation des fonctions continues par des polynômes. Indépendamment de Weierstrass, il démontre la possibilité d'approcher toute fonction continue f, uniformément sur un intervalle compact [a, b], par une suite de polynômes de degré croissant. Ce résultat qualitatif est complété par une étude précise des polynômes de meilleure approximation Pn de degré donné n (cf. Représentations et approximations des fonctions, chap. 5 et 8). Il prouve la caractérisation suivante : « Parmi les polynômes π de degrés ≤ n, le polynôme Pn est le seul pour lequel :

est atteint n + 1 fois dans l'intervalle [ab]. »

Appliquant ce résultat à des problèmes variés, il met en évidence le rôle primordial du polynôme de Tchebychev Tn de degré n. Parmi les polynômes dont le monôme de plus haut degré est 2n-1xn, le polynôme Tn est celui qui s'écarte le moins de 0 sur l'intervalle [− 1, + 1]. Ce polynôme satisfait à la propriété : Tn(cos θ) = cos nθ. Par exemple, sachant que :

on trouve respectivement que :

En outre, on a :

avec des calculs réels si |x| > 1.

Le rôle du polynôme Tn apparaît mieux dans la représentation « géométrique » moderne suivante. Dans l'espace vectoriel Pn des polynômes d'une variable de degré ≤ n, l'ensemble des polynômes π tels que :

est une partie convexe. Sa frontière est assez compliquée, mais on démontre qu'elle comporte toujours deux « pointes », correspondant aux polynômes Tn et − Tn.

L'œuvre de Tchebychev dans le domaine de la théorie constructive des fonctions a eu des prolongements considérables, spécialement en ex-U.R.S.S. Après le maître, ce sont principalement les frères Markov, Serge Bernstein, C. de La Vallée-Poussin, D. Jackson qui ont transmis le flambeau. L'essor de l'analyse numérique consécutif à l'invention des ordinateurs a remis ces travaux à l'ordre du jour, tandis que le bricolage des systèmes articulés est tombé en désuétude.

En prolongeant les idées de Tchebychev, on aboutit à toutes les théories d'optimisation qui jouent [...]


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Pour citer l’article

Georges GLAESER, « TCHEBYCHEV PAFNOUTIÏ LVOVITCH - (1821-1894) », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 15 janvier 2020. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/pafnoutii-lvovitch-tchebychev/