DIOPHANTIENNES APPROXIMATIONS

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Approximations d'un irrationnel. Fractions continuées

Dans le plan affine d'axes Ox, Oy, de vecteurs de base OA, OB, soit la demi-droite (OD) d'équation x = τy, avec ≥ 0 et τ ∈ R. Approcher τ par des rationnels p/q (avec > 0) revient à approcher (OD) par des points du réseau de base OA, OB. Un point P(pq) de ce réseau est un point de voisinage à droite pour (OD) si p/> τ et 0 < p′/q′ − τ < p/q − τ entraîne q′ > q. Même définition à gauche avec τ > p/q et 0 < τ − p′/q′ < τ − p/q. Un point P(pq) est un point réduit, relativement à (OD) si |p′ − τ q′| < |p − τ q| entraîne q′ > q.

Si τ est rationnel, soit τ = u/v, la demi-droite (OD) porte le point entier P(uv) et il n'y a plus, au-delà de P, ni de point de voisinage, ni de point réduit pour (OD). Les points antérieurs à P sont donnés par le théorème suivant, qui s'applique sans limitation lorsque τ est irrationnel : Si Pn,k et Pn,k+1 sont deux points de voisinage consécutifs (pour q croissant), d'un même côté de (OD), alors :

a) La demi-droite portant le vecteur Pn,k Pn,k+1 rencontre (OD) en un point Dn+2 (non entier).

b) Pn,k Pn,k+h = h Pn,k Pn,k+1 donne, pour = 1, 2, ..., les points de voisinage suivant Pn,k, du même côté de (OD), jusqu'au dernier avant Dn+2, soit Pn+2. Ces points sont adjacents deux à deux.

c) OPn+1 = Pn,k Pn,k+1 et Pn+2 Pn+1,1Pn,k Pn,k+1 donnent deux points de voisinages consécutifs, Pn+1 et Pn+1,1, de l'autre côté de (OD), ce qui permet de poursuivre l'opération et d'obtenir tous les points de voisinage au-delà de Pn,k, sur deux lignes polygonales appelées lignes polygonales de Klein relatives à (OD) ; ces lignes forment enveloppe convexe des points entiers situés de part et d'autre de (OD).

d) Seuls les sommets Pn de ces lignes polygonales sont des points réduits.

Ce théorème s'établit par des considérations géométriques très élémentaires. On pose en général Pn-2Dn = αnOPn-1 et Pn-2PnanOPn-1 ; donc an = [αn], partie entière de αn. La similitude des triangles OPnDn et Dn+1Pn-1O donne alors αn+1 = 1/(αn − an) et l'on obtient ainsi, géométriquement, le développement en fraction contin [...]


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Marcel DAVID, « DIOPHANTIENNES APPROXIMATIONS », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 20 mai 2020. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/approximations-diophantiennes/