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DIOPHANTIENNES APPROXIMATIONS

Approximations d'un irrationnel. Fractions continuées

Dans le plan affine d'axes Ox, Oy, de vecteurs de base OA, OB, soit la demi-droite (OD) d'équation x = τy, avec y ≥ 0 et τ ∈ R. Approcher τ par des rationnels p/q (avec q > 0) revient à approcher (OD) par des points du réseau de base OA, OB. Un point P(p, q) de ce réseau est un point de voisinage à droite pour (OD) si p/q > τ et 0 < p′/q′ − τ < p/q − τ entraîne q′ > q. Même définition à gauche avec τ > p/q et 0 < τ − p′/q′ < τ − p/q. Un point P(p, q) est un point réduit, relativement à (OD) si |p′ − τ q′| < |p − τ q| entraîne q′ > q.

Si τ est rationnel, soit τ = u/v, la demi-droite (OD) porte le point entier P(u, v) et il n'y a plus, au-delà de P, ni de point de voisinage, ni de point réduit pour (OD). Les points antérieurs à P sont donnés par le théorème suivant, qui s'applique sans limitation lorsque τ est irrationnel : Si Pn,k et Pn,k+1 sont deux points de voisinage consécutifs (pour q croissant), d'un même côté de (OD), alors :

a) La demi-droite portant le vecteur Pn,k Pn,k+1 rencontre (OD) en un point Dn+2 (non entier).

b) Pn,k Pn,k+h = hPn,k Pn,k+1 donne, pour h = 1, 2, ..., les points de voisinage suivant Pn,k, du même côté de (OD), jusqu'au dernier avant Dn+2, soit Pn+2. Ces points sont adjacents deux à deux.

c) OPn+1 = Pn,k Pn,k+1 et Pn+2 Pn+1,1 = Pn,k Pn,k+1 donnent deux points de voisinages consécutifs, Pn+1 et Pn+1,1, de l'autre côté de (OD), ce qui permet de poursuivre l'opération et d'obtenir tous les points de voisinage au-delà de Pn,k, sur deux lignes polygonales appelées lignes polygonales de Klein relatives à (OD) ; ces lignes forment enveloppe convexe des points entiers situés de part et d'autre de (OD).

d) Seuls les sommets Pn de ces lignes polygonales sont des points réduits.

Ce théorème s'établit par des considérations géométriques très élémentaires. On pose en général Pn-2Dn = αnOPn-1 et Pn-2Pn = anOPn-1 ; donc an = [αn], partie entière de αn. La similitude des triangles OPnDn et Dn+1Pn-1O donne alors αn+1 = 1/(αn − an) et l'on obtient ainsi, géométriquement, le développement en fraction continuée (régulière) de τ :

avec a0 = [τ] et an = [αn]. Les αn sont les quotients complets du développement et les an, les quotients incomplets.

On écrit alors τ = [a0, a1, ..., an-1, αn]et pn/qn = [a0, a1, ..., an+1, an], n-nième réduite (qui correspond au point Pn), d'où :

ce qui exprime que Pn-2Pn = anOPn-1. C'est grâce à ces formules de récurrence qu'on calcule les pn et les qn connaissant les ak.

Les résultats essentiels de la théorie de ces fractions continuées sont les suivants : (1) On a :

ce qui montre que l'approximation de τ par une réduite est d'autant meilleure que αn+1 est grand.

Par exemple π = [3, 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, ...] donne une excellente approximation classique p3/q3 = 355/113. (2) Une condition nécessaire et suffisante pour que deux irrationnels τ et α présentent, à partir de certains indices, les mêmes développements, est qu'ils soient liés par une transformation homographique modulaire, c'est-à-dire σ = (a τ + b)/(c τ + d) avec ad − bc = ± 1 et a, b, c et d entiers. (3) Une condition nécessaire et suffisante pour que τ présente un développement périodique est que τ soit un irrationnel algébrique du second degré (théorème dû à Lagrange).

pour tout n.

Sur deux réduites consécutives, l'une au moins vérifie :

Sur trois réduites consécutives, l'une au moins vérifie :

u/v est une réduite du développement de τ. (6) Si on développe le rationnel a/b en fraction[...]

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Écrit par

  • : professeur à la faculté des sciences de Reims

Classification

Pour citer cet article

Marcel DAVID. DIOPHANTIENNES APPROXIMATIONS [en ligne]. In Encyclopædia Universalis. Disponible sur : (consulté le )

Autres références

  • DIOPHANTIENNES ÉQUATIONS

    • Écrit par Jean-Louis COLLIOT-THÉLÈNE, Marcel DAVID, Universalis
    • 6 121 mots
    • 1 média
    La solution (u0, v0) peut se trouver par essais successifs, si a et b ne sont pas trop grands ; sinon, on développe a/b en fraction continuée et, si a/b = pn/qn est la n-ième réduite, on prend la (n − 1)-ième qui, au signe près, donne u0 = qn-1 et v0 = − pn-1....
  • KHINTCHINE ALEXANDRE IAKOVLEVITCH (1894-1959)

    • Écrit par Universalis
    • 290 mots

    Mathématicien soviétique, né à Kondrovo et mort à Moscou, membre correspondant de l'Académie des sciences de l'U.R.S.S., professeur à l'université de Moscou, prix Staline (1941). Ses premiers travaux concernent la théorie des fonctions d'une variable réelle, où il introduit la notion de dérivée...

  • NOMBRES (THÉORIE DES) - Vue d'ensemble

    • Écrit par Jean DIEUDONNÉ
    • 3 176 mots

    Dans la plupart des civilisations parvenues au stade de l'écriture, les nombres entiers ont, dès l'origine, été liés à des pratiques religieuses ou magiques, et leurs propriétés ont exercé une sorte de fascination sur les esprits, qui est loin d'être disparue de nos jours, où la « numérologie » conserve...

Voir aussi