DIOPHANTIENNES APPROXIMATIONS

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Approximations d'un irrationnel. Fractions continuées

Dans le plan affine d'axes Ox, Oy, de vecteurs de base OA, OB, soit la demi-droite (OD) d'équation x = τy, avec ≥ 0 et τ ∈ R. Approcher τ par des rationnels p/q (avec > 0) revient à approcher (OD) par des points du réseau de base OA, OB. Un point P(pq) de ce réseau est un point de voisinage à droite pour (OD) si p/> τ et 0 < p′/q′ − τ < p/q − τ entraîne q′ > q. Même définition à gauche avec τ > p/q et 0 < τ − p′/q′ < τ − p/q. Un point P(pq) est un point réduit, relativement à (OD) si |p′ − τ q′| < |p − τ q| entraîne q′ > q.

Si τ est rationnel, soit τ = u/v, la demi-droite (OD) porte le point entier P(uv) et il n'y a plus, au-delà de P, ni de point de voisinage, ni de point réduit pour (OD). Les points antérieurs à P sont donnés par le théorème suivant, qui s'applique sans limitation lorsque τ est irrationnel : Si Pn,k et Pn,k+1 sont deux points de voisinage consécutifs (pour q croissant), d'un même côté de (OD), alors :

a) La demi-droite portant le vecteur Pn,k Pn,k+1 rencontre (OD) en un point Dn+2 (non entier).

b) Pn,k Pn,k+h = h Pn,k Pn,k+1 donne, pour = 1, 2, ..., les points de voisinage suivant Pn,k, du même côté de (OD), jusqu'au dernier avant Dn+2, soit Pn+2. Ces points sont adjacents deux à deux.

c) OPn+1 = Pn,k Pn,k+1 et Pn+2 Pn+1,1Pn,k Pn,k+1 donnent deux points de voisinages consécutifs, Pn+1 et Pn+1,1, de l'autre côté de (OD), ce qui permet de poursuivre l'opération et d'obtenir tous les points de voisinage au-delà de Pn,k, sur deux lignes polygonales appelées lignes polygonales de Klein relatives à (OD) ; ces lignes forment enveloppe convexe des points entiers situés de part et d'autre de (OD).

d) Seuls les sommets Pn de ces lignes polygonales sont des points réduits.

Ce théorème s'établit par des considérations géométriques très élémentaires. On pose en général Pn-2Dn = αnOPn-1 et Pn-2PnanOPn-1 ; donc an = [αn], partie entière de αn. La similitude des triangles OPnDn et Dn+1Pn-1O donne alors αn+1 = 1/(αn − an) et l'on obtient ainsi, géométriquement, le développement en fraction continuée (régulière) de τ :

avec a0 = [τ] et an = [αn]. Les αn sont les quotients complets du développement et les an, les quotients incomplets.

On écrit alors τ = [a0, a1, ..., an-1, αn] et pn/qn = [a0, a1, ..., an+1, an], n-nième réduite (qui correspond au point Pn), d'où :

ce qui exprime que Pn-2Pn = anOPn-1. C'est grâce à ces formules de récurrence qu'on calcule les pn et les qn connaissant les ak.

Les résultats essentiels de la théorie de ces fractions continuées sont les suivants : (1) On a :

ce qui montre que l'approximation de τ par une réduite est d'autant meilleure que αn+1 est grand.

Par exemple π = [3, 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, ...] donne une excellente approximation classique p3/q3 = 355/113. (2) Une condition nécessaire et suffisante pour que deux irrationnels τ et α présentent, à partir de certains indices, les mêmes développements, est qu'ils soient liés par une transformation homographique modulaire, c'est-à-dire σ = (τ + b)/(τ + d) avec ad − bc = ± 1 et a, b, c et d entiers. (3) Une condition nécessaire et suffisante pour que τ présente un développement périodique est que τ soit un irrationnel algébrique du second degré (théorème dû à Lagrange).

pour tout n.

Sur deux réduites consécutives, l'une au moins vérifie :

Sur trois réduites consécutives, l'une au moins vérifie :

u/v est une réduite du développement de τ. (6) Si on développe le rationnel a/b en fraction continuée et si a/pn/qn, la réduite précédente (pn-1)/(qn-1) fournit une solution de l'équation de Bezout :
(7) Si l'irrationnel d (d entier ≥ 2) est développé en fraction continue, on a :
périodique à partir de a1, période de n termes, avec a1 = an-1, a2 = an-2, ... (cela caractérise les développements de d).

Si n est pair, les solutions de l'équation de Pell x2 − dy2 = 1 sont données par x = pkn-1, y = qkn-1, pour k = 1, 2, 3, ... et x2 − dy2 = − 1 n'a pas de solution.

Si n est impair les formules précédentes donnent : pour k = 1, 3, 5, 7, ..., les solutions de x2 − dy2 = − 1, et, pour k = 2, 4, 6, ..., les solutions de x2 − dy2 = 1. Par exemple x2 − 13 y2 = 1 conduit à :

d'où 649/180 pour k =2, donnant la plus petite solution x = 649, y = 180 qu'il était difficile de trouver par essais successifs.

Ces résultats s'établissent à partir de la formule :

relation modulaire liant τ et αn et exprimant que Dn est sur (OD). On en tire en effet aussitôt la formule de (1) et le résultat de (2), qui, géomét [...]

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Pour citer l’article

Marcel DAVID, « DIOPHANTIENNES APPROXIMATIONS », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 01 février 2023. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/approximations-diophantiennes/