DIOPHANTIENNES APPROXIMATIONS

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Approximations des irrationnels algébriques

On dit qu'un irrationnel τ est rationnellement approchable à l'ordre α s'il existe une constante dépendant de τ, soit K(τ), telle que :

ait une infinité de solutions.

On voit sans peine qu'un rationnel u/v est approchable à l'ordre 1 et pas au-delà. D'autre part, les propriétés des fractions continuées montrent que tout irrationnel est approchable à l'ordre 2 au moins et qu'un irrationnel quadratique est approchable à l'ordre 2 et pas au-delà (à cause de la périodicité du développement). Ce dernier résultat est un cas particulier du théorème de Liouville (1844) relatif aux irrationnels algébriques de degré n : si τ est de degré n, il n'est pas approchable à un ordre supérieur strictement à n. En effet, si f (τ) = 0, où f est le polynôme de degré n définissant τ, l'étude de :

donne élémentairement :
pour tout rationnel p/q.

Le théorème de Liouville a une grande importance historique, puisqu'il a permis de définir explicitement les premiers nombres transcendants (nombres de Liouville), grâce à des développements (décimaux ou en fraction continuée) lacunaires tels que :

jusque-là on ne connaissait que l'existence des nombres transcendants (par complémentarité dans R des nombres algébriques) et ce n'est qu'en 1873 que Hermite établit la transcendance de e, permettant à Lindemann d'établir celle de π en 1882.

Le résultat de Liouville a été successivement amélioré par Thue (1908), établissant α ≤ (n/2) + 1, par Siegel (1921) α ≤ 2 n, par Dyson (1947) α ≤ 2 n, et, en 1955, à l'aide d'une démonstration très technique, Roth améliorait définitivement le théorème : Tout irrationnel algébrique τ est approchable à l'ordre 2 et pas au-delà. Cela permet d'affirmer par exemple que le développement décimal lacunaire x = 10-1 + 10-3 + 10-9 + ... + 10-3n + ... représente un nombre transcendant.

La recherche, pour un nombre algébrique τ, de la plus petite constante k(τ), pour laquelle :

a une infinité de solutions, est alors intéressante. Le nombre d'or :
a pour réduites les fractions de Fibonacci  [...]


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Marcel DAVID, « DIOPHANTIENNES APPROXIMATIONS », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 28 septembre 2020. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/approximations-diophantiennes/