DIOPHANTIENNES APPROXIMATIONS

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Approximations simultanées

Étant donné k irrationnels τ1, τ2, ..., τk, on peut soit chercher à les approcher par des fractions p1/r, p2/r, ..., pk/r de même dénominateur (pas obligatoirement toutes irréductibles), soit chercher à rendre

minimum pour des entiers ui et w. Ces deux problèmes duals l'un de l'autre sont également délicats. Le premier problème a été étudié initialement par Hermite, le second par Dirichlet. Une variante non homogène du deuxième problème consiste à rendre
minimum, σ étant donné non entier.

Un algorithme de Jacobi généralise pour les irrationnels l'algorithme des fractions continuées. Il correspond, pour k = 2, à :

an = [αn] et bn = [βn], avec a0 = [τ] et b0 = [σ].

Cela, géométriquement, ramène le premier problème d'approximation simultanée à l'exploration des points de Z3 autour de la demi-droite (OD) portant le vecteur de composantes (τ, σ, 1). On obtient une suite de points liés par la récurrence OPn = OPn-3 + bn OPn-2 + an OPn-1 et beaucoup de formules généralisent ce qui a été vu pour les fractions continuées. Malheureusement, si la convergence des réduites peut s'établir d'une manière générale, |p − τ r| et |q − σ r| ne tendent pas toujours vers zéro. D'autre part, si on veut essayer de définir des points de voisinage, on doit tenir compte simultanément de |τ − p/r| et |σ − q/r|, ce qui peut se faire par leur borne supérieure, leur somme, la somme de leurs carrés, et bien d'autres manières qui ne sont pas équivalentes entre elles. C'est pourquoi Hermite a pu dire que ce problème n'avait cessé, durant cinquante ans, de le préoccuper et de le désespérer.

Lorsqu'un développement de Jacobi pour k = 2 est périodique, il est facile de voir que τ et σ sont deux éléments, non liés linéairement, d'un même corps cubique. La réciproque n'a pu être établie jusqu'à présent. Tout au plus peut-on dire, avec David (1956), que pour certains algorithmes voisins (où l'on prend par exemple an = an+1 ou bn = bn + 1) cette réciproque est inexacte. Il n'en reste pas moins que d'intéressants résultats ont été obtenus par Perron grâce à l'algorithme de Jacobi, sur l'approximation de n entiers algébriques d'un corps de degré (n + 1).

Indépendamment de tout algorithme et par une simple application du « principe des tiroirs » de Dirichlet (Si n + 1 objets sont dans n tiroirs, l'un au moins de ces tiroirs contient plus d'un objet) on démontre qu'il y a au moins une solution au système |τi − pi/r| < 1/r1+ε, où ε = 1/k. Ce résultat de Kronecker est sans grand intérêt dès que k dépasse 3. Par dualité, on en déduit que :

a des solutions entières ui et y, non toutes nulles, avec sup |ui| = t.

Une étude plus précise de Khintchine lie l'indice ω1 de u1τ1 + u2τ2 + ... + ukτk − y (c'est-à-dire la borne supérieure des ω tels que cette forme soit approchable à 1/tk près) à l'indice ω2 des k nombres τi (c'est-à-dire la borne supérieure des ω tels que chaque τi soit approchable à 1/t1+(1+ω)/k près).

On a :

Le cas non homogène (étude de |τ p −  q − σ|, ou, plus généralement, de |τ1u1 + τ2u2 + ... + τkuk − w − σ|) a permis à Tchebycheff, Kintchine, Kronecker, Hermite et Minkowski d'obtenir des résultats analogues à ceux du cas homogène.

Signalons enfin d'intéressantes études sur l'approximation d'un nombre complexe α + iβ par le quotient P/Q de deux entiers de Gauss (Hermite, en liaison avec les formes quadratiques, Minkowski, Perron, Hurwitz en particulier). Un résultat essentiel est qu'il y a une infinité de solutions à

Le théorème de Thue-Siegel-Dyson-Roth sur l'approximation d'un irrationnel algébrique a été généralisé au cas de plusieurs irrationnels algébriques, en 1970, par W. Schmidt. Ainsi, pour τ1, ..., τn des nombres algébriques tels qu'aucune combinaison linéaire a1τ1 + ... + anτn, avec a1, ..., an rationnels non tous nuls, ne soit un nombre rationnel, et pour ε réel positif arbitraire, il n'y a qu'un nombre fini d'entiers p1, ..., pnq(> 0) satisfaisant :

Plus généralement, désignant par ∥x∥ la distance d'un réel x au plus proche entier, pour τ1, ..., τn et ε comme ci-dessus, il n'y a qu'un nombre fini d'entiers positifs q tels que :
et il n'y a qu'un nombre fini d'entiers q1, ..., qn non nuls tels que :

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Marcel DAVID, « DIOPHANTIENNES APPROXIMATIONS », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 03 décembre 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/approximations-diophantiennes/