DIOPHANTIENNES APPROXIMATIONS

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Approximations simultanées

Étant donné k irrationnels τ1, τ2, ..., τk, on peut soit chercher à les approcher par des fractions p1/r, p2/r, ..., pk/r de même dénominateur (pas obligatoirement toutes irréductibles), soit chercher à rendre

minimum pour des entiers ui et w. Ces deux problèmes duals l'un de l'autre sont également délicats. Le premier problème a été étudié initialement par Hermite, le second par Dirichlet. Une variante non homogène du deuxième problème consiste à rendre
minimum, σ étant donné non entier.

Un algorithme de Jacobi généralise pour les irrationnels l'algorithme des fractions continuées. Il correspond, pour k = 2, à :

an = [αn] et bn = [βn], avec a0 = [τ] et b0 = [σ].

Cela, géométriquement, ramène le premier problème d'approximation simultanée à l'exploration des points de Z3 autour de la demi-droite (OD) portant le vecteur de composantes (τ, σ, 1). On obtient une suite de points liés par la récurrence OPn = OPn-3 + bn OPn-2 + an OPn-1 et beaucoup de formules généralisent ce qui a été vu pour les fractions continuées. Malheureusement, si la convergence des réduites peut s'établir d'une manière générale, |p − τ r| et |q − σ r| ne tendent pas toujours vers zéro. D'autre part, si on veut essayer de définir des points de voisinage, on doit tenir compte simultanément de |τ − p/r| et |σ − q/r|, ce qui peut se faire par leur borne supérieure, leur somme, la somme de leurs carrés, et bien d'autres manières qui ne sont pas équivalentes entre elles. C'est pourquoi Hermite a pu dire que ce problème n'avait cessé, durant cinquante ans, de le préoccuper et de le désespérer.

Lorsqu'un développement de Jacobi pour k = 2 est périodique, il est facile de voir que τ et σ sont deux éléments, non liés linéairement, d'un même corps cubique. La réciproque n'a pu être établie jusqu'à présent. Tout au plus peut-on dire, avec David (1956), que pour certains algorithmes voisins (où l'on prend par exemple an = an+1 ou bn = bn + 1) cette réciproque est inexacte. Il n'en reste pas moins que d'intéressants résultats ont été obtenus par Perron grâce à l'algorithme de Jacobi, [...]


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Marcel DAVID, « DIOPHANTIENNES APPROXIMATIONS », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 27 novembre 2020. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/approximations-diophantiennes/