DIOPHANTIENNES APPROXIMATIONS
Théorème de Minkowski et applications
Dans sa Géométrie des nombres, Minkowski établit en 1910 l'important théorème : Soit dans R n un domaine S convexe, borné, symétrique par rapport à O et de volume supérieur à 2 n (ou égal à 2 n si ce domaine est fermé). Ce domaine contient au moins un point entier distinct de O (il contient donc aussi son symétrique par rapport à O).
La démonstration utilise l'homothétique S′ de S dans l'homothétie (0, 1/2). Pour un entier m assez grand, soit le réseau (Z/m) n des points de coordonnées x i = u i /m où u i ∈ Z. Soit N(m) le nombre d'hypercubes de côtés 1/m de ce réseau qui sont dans S′. On a N(m) × m s aussi voisin qu'on veut de 1/2 n . V(S) pour m assez grand et cela permet d'affirmer l'existence de deux sommets où les u i ′ et u i ″ sont congrus modulo m, pour i = 1, 2, ..., n. Le vecteur joignant ces deux sommets est donc un point entier, car (u i ′ − u i ″)/m est entier, qui appartient à S′ + S′ = S.
L'application essentielle de ce théorème concerne la résolution des systèmes d'inéquations diophantiennes :
On peut d'ailleurs, si les α i j sont entiers, appliquer ces résultats à des systèmes d'équations linéaires, car :
Le théorème de Minkowski s'étend de plus au cas complexe, à condition que les inéquations du système soient réelles ou imaginaires conjuguées 2 à 2 (avec alors le même λ i pour ces deux inéquations). Il vient encore la condition λ1 λ2 ... λ n ≥ |Δ|, suffisante pour entraîner l'existence de solutions entières autres que le point O. C'est sous cette forme que le théorème permet la démonstration d'un important théorème de Dirichlet sur l'existence des unités dans une extension algébrique de Q.
On peut aussi appliquer le théorème des jauges de Minkowski en définissant celles-ci par :
On peut toutefois noter que, contrairement au cas des inéquations, où la condition |λ1 λ2 ... λ n | ≥ |Δ| ne peut être améliorée d'une manière générale, on peut parfois améliorer les résultats ci-dessus. Par exemple, pour n = 2, on peut affirmer que l'inéquation |L1 L2| ≤ |Δ| √5 admet toujours des solutions non banales.
La réduction des formes quadratiques utilise aussi le théorème de Minkowski, appliqué à L1 2 + L2 2 + ... + L n 2.
Blichfeldt (1914) a étendu à d'autres domaines que des jauges les méthodes de Minkowski ; ces recherches ont été poursuivies par Mordell, Davenport et Mahler.
Pour nos abonnés, l'article se compose de 7 pages
La suite de cet article est accessible aux abonnés
- Des contenus variés, complets et fiables
- Accessible sur tous les écrans
- Pas de publicité
Déjà abonné ? Se connecter
Écrit par
- Marcel DAVID : professeur à la faculté des sciences de Reims
Classification
Pour citer cet article
Marcel DAVID, « DIOPHANTIENNES APPROXIMATIONS », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le . URL :
Autres références
-
DIOPHANTIENNES ÉQUATIONS
- Écrit par Jean-Louis COLLIOT-THÉLÈNE, Marcel DAVID, E.U.
- 33 661 mots
- 1 média
La solution (u 0, v 0) peut se trouver par essais successifs, si a et b ne sont pas trop grands ; sinon, on développe a/b en fraction continuée et, si a/b = p n /q n est la n-ième réduite, on prend la (n − 1)-ième qui, au signe près, donne u 0 = q n-1 et v 0 = − [...] -
KHINTCHINE ALEXANDRE IAKOVLEVITCH (1894-1959)
- Écrit par E.U.
- 1 591 mots
Mathématicien soviétique, né à Kondrovo et mort à Moscou, membre correspondant de l'Académie des sciences de l'U.R.S.S., professeur à l'université de Moscou, prix Staline (1941). Ses premiers travaux concernent la théorie des fonctions d'une variable réelle, où il introduit la notion de dérivée[...]
-
NOMBRES (THÉORIE DES) - Vue d'ensemble
- Écrit par Jean DIEUDONNÉ
- 17 463 mots
Dans la plupart des civilisations parvenues au stade de l'écriture, les nombres entiers ont, dès l'origine, été liés à des pratiques religieuses ou magiques, et leurs propriétés ont exercé une sorte de fascination sur les esprits, qui est loin d'être disparue de nos jours, où la « numérologie » conserve[...]
