FACTORIELLE ANALYSE

C. Spearman et le facteur g

L'hypothèse de Spearman peut être écrite comme suit :

Ces égalités signifient : qu'une activité cognitive quelconque j est fonction d'un facteur général, g, commun à toutes les activités, et d'un facteur spécifique, s, lequel n'est présent que dans cette activité (1) ; que tous les facteurs sont statistiquement indépendants, c'est-à-dire que leurs corrélations sont nulles (2) ; que la mesure z_j d'un comportement j peut être écrite en première approximation comme une fonction linéaire de g et de s, c'est-à-dire qu'elle est composée d'une partie due au facteur g, représentée par le coefficient factoriel de j en g, a_jg, augmentée d'une partie due au facteur spécifique s, représentée par le coefficient factoriel de j en s, b_js (3).

De cette hypothèse, on peut déduire : a) que toutes les corrélations entre tests cognitifs seront positives (r_jk> 0), puisque g est commun, mais qu'elles ne seront pas parfaites (r_jk< 1), puisque chaque s est spécifique et indépendant ; b) que la table de corrélations doit être hiérarchique ou, selon le langage matriciel, que le rang de la matrice de corrélations doit être égal à l'unité.

Pour clarifier ce dernier point, examinons le tableau. Il s'agit d'une matrice de corrélations, c'est-à-dire d'un ensemble de corrélations ordonnées par lignes et par colonnes. Supposons qu'elle ait été obtenue en appliquant quatre tests à un échantillon de sujets et en calculant les corrélations entre les résultats obtenus. On dit qu'une matrice est hiérarchique lorsque ses colonnes sont proportionnelles. Le tableau est celui d'une matrice hiérarchique. Ainsi, pour les colonnes 2 et 3 :

Or, si l'hypothèse de Spearman est exacte, la corrélation partielle entre deux tests cognitifs quelconques doit être nulle :

La formule (4) exprime la corrélation qui subsiste entre j et k lorsque l'effet de g est éliminé. Donc, sa valeur doit être nulle, puisque, selon l'hypothèse de Spearman, g est le seul facteur commun. Mais (4) n'est nulle que si le numérateur est nul. Donc :

D'où la proportionnalité des colonnes. En effet, d'après (5), le rapport entre deux termes correspondants de deux colonnes doit être constant :

On voit donc que, si l'hypothèse de Spearman est exacte, les corrélations doivent être positives et hiérarchiques. Dans nombre d'études, Spearman et ses collaborateurs ont cru confirmer ces prévisions.

Dans le cas d'une hiérarchie de tests, il est facile en principe de calculer le coefficient factoriel de chaque test en g. Ce coefficient est donné par :

En effet, si l'on opère la transformation de (5) en (6), on a :

Le coefficient factoriel du test 1 en g sera dès lors :

Les coefficients des tests en g figurent dans la colonne g du tableau, comme on peut le vérifier aisément en appliquant la formule (6).

On a interprété le facteur g en étudiant les coefficients factoriels d'un grand nombre de tests cognitifs différents qui répondaient à l'exigence de la hiérarchie. Spearman a montré que g correspond à l'abstraction noégénétique, c'est-à-dire à l'activité d'abstraction et de mise en relation qui fait surgir (γ́ενεσις) des nouvelles connaissances (νοε̃ιν). D'après Spearman, toutes les opérations cognitives qui accroissent les connaissances sont identiques et se réduisent à la fonction d'abstraction et de mise en relation. Cette fonction se maintient à un niveau constant pour chaque sujet, puisque g est la mesure de l'énergie mentale ou, du point de vue somatique, de l'énergie nerveuse du sujet. Les facteurs spécifiques seraient les mécanismes par lesquels cette énergie agit.

Spearman en conclut que toutes les théories antérieures de l'intelligence sont erronées. Ainsi, les théories monarchiques, selon lesquelles l'intelligence est une faculté unique, négligent les facteurs s ; d'autre part, les théories anarchiques, selon lesquelles il n'y a pas d'intelligence mais seulement des comportements intelligents, ne prennent pas en considération le facteur g. Quant aux théories oligarchiques, qui prônent l'existence de plusieurs facultés, elles sont également dans l'erreur puisque les corrélations montrent qu'il n'y a pas d'ensembles distincts de corrélations, mais un seul ensemble hiérarchique, c'est-à-dire un seul facteur g en plus des facteurs spécifiques.

G. H. Thomson : facteurs et lois de probabilité

De son côté, Thomson offre une autre explication des corrélations positives et hiérarchiques : il s'agit de la théorie dite de l'échantillonnage. Supposons : a) que l'intelligence soit un ensemble de N éléments e équivalents, indépendants et très nombreux ; b) qu'un test ou activité j soit un échantillon aléatoire, formé par un nombre Np_j d'éléments de l'ensemble selon la complexité p_j du test ; c) que la corrélation r_jk entre deux tests j et k dépende du nombre d'éléments communs aux deux tests. On peut alors écrire :

La formule habituelle de la corrélation (9) exprime le rapport entre la covariance c et la racine carrée du produit des variances. Mais la covariance indique le nombre d'éléments communs aux deux tests. Or, étant donné que chaque test est un échantillon aléatoire et indépendant et que les proportions d'éléments de chaque test sont p_j et p_k, le nombre le plus probable d'éléments communs dans les deux échantillons sera Np_jp_k. De même, la variance de chaque échantillon est représentée par son nombre d'éléments Np_j et Np_k. Donc, (9) devient :

À partir de (10), on peut montrer que les corrélations doivent être hiérarchiques. En effet, en prenant deux colonnes quelconques d'une table de corrélations, par exemple les colonnes 2 et 3, on a :

On voit que les colonnes sont proportionnelles comme dans la théorie de Spearman.

D'après la théorie de Thomson, l'intelligence n'est pas constituée de facultés ou de facteurs, mais d'un ensemble d'éléments. Ceux-ci seraient des constituants simples appartenant au substrat causal du comportement intelligent, liés sans doute au bagage génétique et, plus directement, aux dix milliards de neurones corticaux. Ils sont si nombreux que les lois de la probabilité peuvent y jouer et produire cette tendance remarquable qu'on appelle hiérarchie.

Spearman et Thomson se fondent l'un et l'autre sur le fait de la hiérarchie. Mais ce fait est discutable. Au fur et à mesure que les techniques psychométriques et les modèles d'échantillonnage s'améliorent et que les erreurs de tout genre diminuent, les corrélations s'éloignent de plus en plus de la hiérarchie. C'est d'ailleurs ce qui a amené Spearman à admettre l'existence d'autres facteurs communs à côté de g, et Thomson lui aussi a reconnu que l'ensemble des éléments n'est pas homogène, mais structuré en sous-ensembles partiels. Ainsi, l'interprétation unifactorielle est devenue peu à peu une interprétation multifactorielle. Celle-ci sera explicitement formulée par Burt et par Thurstone.

C. Burt : facteurs et classes

Les techniques de Burt et de Thurstone ont été incorporées, pour la plus grande partie, à la méthodologie de l'analyse factorielle. On tentera d'en faire la synthèse à la section suivante. On se borne à présenter ici les concepts théoriques les plus distinctifs de ces auteurs.

Étant donné que toutes les corrélations entre des tests cognitifs sont positives, il faut admettre, d'après Burt, l'existence d'un facteur général g. Toutefois, celui-ci ne suffit pas à expliquer les corrélations, puisqu'elles ne sont pas tout à fait hiérarchiques. Il faut donc admettre, en plus de g, d'autres facteurs qui, étant communs à plusieurs tests, ne sont ni communs à tous ni spécifiques d'un seul :

Chaque test peut être exprimé en fonction d'un facteur général g, de un ou de plusieurs facteurs communs m et d'un facteur spécifique s.

Burt a été l'un des auteurs les plus féconds dans le développement des méthodes factorielles ; il a largement contribué à leur application dans la recherche en psychologie différentielle et en psychologie appliquée. D'après lui, les facteurs que l'on trouve ne sont pas des entités réelles, mais des catégories logiques et métriques de classification. Ces principes logico-métriques permettent de fonder une taxinomie des phénomènes psychologiques et des individus, au moyen de classes qui sont à la fois rigoureuses, indépendantes, objectives et empiriquement vérifiées.

L. L. Thurstone : facteurs et paramètres fonctionnels

C'est à Thurstone que revient le mérite d'avoir donné à l'analyse factorielle sa formulation la plus générale, et l'on peut affirmer que la théorie inclut les autres au titre de cas particuliers. Sa seule hypothèse est que chaque activité ou phénomène j est fonction d'un nombre de facteurs communs m, d'un facteur spécifique s et d'une erreur e :

Quant au nombre et à la nature des facteurs communs, c'est là un problème qui doit être résolu expérimentalement. Dans ce but, Thurstone a développé de nombreuses techniques sur le modèle général de l'algèbre matricielle. Ces techniques sont devenues la base de l'analyse factorielle. Les facteurs ainsi découverts sont interprétés comme des paramètres dans l'équation de chaque variable d'un domaine empirique donné. Ces paramètres correspondent à un ensemble de concepts théoriques en fonction desquels le domaine étudié peut être analysé de façon scientifiquement vérifiable. En général, les facteurs psychologiques représentent des principes fonctionnels et des traits.