SKOLEM ALBERT THORALF (1887-1963)

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Logicien et mathématicien norvégien né à Sandsvaer et mort à Oslo. Ses travaux en algèbre (théorème de Skolem-Noether pour les algèbres associatives) et en théorie des nombres (introduction des méthodes p-adiques dans la théorie des équations diophantiennes), qui lui vaudraient, en tout état de cause, un rang honorable parmi les mathématiciens de son époque, sont éclipsés par ses éclatantes contributions à la logique mathématique, qui font de lui le véritable fondateur de la théorie des modèles. Son isolement, son indifférence, peut-être forcée, pour les travaux de ses contemporains, une tendance fréquente à remplacer les démonstrations générales par des exemples significatifs risquent de dissimuler sa grandeur à ceux qui abordent pour la première fois son œuvre. Parmi ses premiers travaux, il faut signaler ses recherches de logique algébrique sur les treillis, qui eurent une descendance abondante et auxquelles il était très attaché, et surtout son invention, en 1919 (soit vingt à trente ans avant les travaux de Tarski sur la décidabilité), de la méthode d'élimination des quantificateurs, qu'il applique pour établir la décidabilité de plusieurs théories algébriques. Son nom est attaché au théorème de Löwenheim-Skolem, qu'il démontre pour la première fois en 1920 pour les ensembles dénombrables de formules et qu'il applique en 1922 pour établir que, sous réserve de sa consistance, la théorie des ensembles admet un modèle dénombrable ; ce résultat est à l'origine du « paradoxe de Skolem » (un modèle dénombrable de la théorie des ensembles contient des ensembles non dénombrables). Ce travail donne à Skolem l'occasion de s'apercevoir de l'imprécision du schéma de compréhension de E. Zermelo, qu'il modifie en remplaçant la notion de prédicat défini de ce dernier par celle de formule du premier ordre, donnant ainsi naissance à ce qui est aujourd'hui appelé, par suite d'un accident historique, théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel. On peut épiloguer sur les raisons pour lesquelles Skolem laissa échapper un résultat qui était à portée de sa main, le théorème de complétude. Il fut plus heureux avec les modèles non standards de l'arithmétique, dont il établit en 1934 l'existence, laquelle semble aujourd'hui immédiate quand on se place dans le cadre des travaux antérieurs de Skolem, à l'aide d'une nouvelle technique de construction de modèles qui préfigure les ultraproduits.

—  Gabriel SABBAGH

Écrit par :

  • : docteur ès sciences, professeur de mathématiques à l'université de Paris-VII

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Pour citer l’article

Gabriel SABBAGH, « SKOLEM ALBERT THORALF - (1887-1963) », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 11 octobre 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/albert-thoralf-skolem/