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ERGODIQUE THÉORIE

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Systèmes dynamiques

On ne donnera pas de définition générale et on se limitera aux systèmes (Ω, m, θ) ayant les propriétés énoncées au début du paragraphe 2 en renvoyant à l'article systèmes dynamiques. On appelle un tel triplet S = (Ω, m, θ) un système dynamique. Soit S = (Ω′, m′, θ′) un autre système dynamique. On dira que S′ est image homomorphe de S s'il existe une injection mesurable ϕ : Ω → Ω′ telle que ϕ ∘ θ = θ′ ∘ ϕ et m′ = ϕ(m). Si ϕ est bijective et si chacun des systèmes S et S′ est image homomorphe de l'autre par ϕ et ϕ-1, S et S′ sont dits spatialement isomorphes. Cela étant, on peut poser la question suivante : Deux systèmes dynamiques donnés sont-ils isomorphes ? Pour y répondre, il est bon de rechercher les invariants d'un système dynamique S, c'est-à-dire les objets attachés à S qui ne varient pas dans un isomorphisme spatial. Dans le chapitre 2, on a associé à la transformation θ un opérateur unitaire T dans L2(m). Il est alors facile de vérifier que les valeurs propres de T sont des invariants de S.

Un autre invariant fondamental des systèmes dynamiques est l' entropie ou invariant de Kolmogoroff-Sinaï qui peut se définir de la façon suivante : Désignons par χ la fonction réelle continue et positive sur [0, 1], telle que χ(x) = − x lg x, pour 0 < x ≤ 1 ; à toute partition mesurable finie :

de Ω, faisons correspondre le nombre H(Π) défini par :

On observe que, pour tout entier k,

est une autre partition de Ω et l'invariance de la mesure entraîne que :

La fonction χ est concave et l'on en déduit, pour deux partitions Π et Π′, que :

en notant Π ∨ Π′ la partition engendrée par Π et Π′. Les propriétés (5) et (6) permettent de prouver l'existence de la limite :
et aussi l'inégalité :

On pose alors :

la borne supérieure étant prise sur l'ensemble des partitions mesurables finies Π de Ω. Le nombre Ĥ (éventuellement + ∞) est l'entropie du système S. Ajoutons que cette notion est très voisine de celle qui est utilisée par Boltzmann dans la théorie cinétique des gaz et qu'elle a été l'objet de profonds et difficiles travaux de Sinaï qui, par là, a fait un pas important vers la solution du problème fondamental de la théorie ergodique (cf. chap. 1).

Pour terminer, donnons un exemple. Soit A = {a1, a2, ..., an} un ensemble à n éléments ; munissons-le de la topologie discrète et de la mesure de probabilité équirépartie :

pour i = 1, 2, ..., n. Posons Ω = AZ ; chaque élément de Ω est une suite infinie dans les deux sens ω = (..., ω-1, ω0, ω1, ...) d'éléments de A. Avec la topologie produit, Ω est un espace compact sur lequel agit la transformation θ définie par (θω)j = ωj+1, appelée shift-transformation. Si m désigne la probabilité produit sur Ω, le triplet (Ω, m, θ) est un système dynamique qui joue un rôle important en théorie de l'information. Choisissons la partition :
où Ω i = {ω|ω0 = ai}. Il est clair que m(Ω i) = 1/n et que H(Π) = log n. On peut alors prouver que l'entropie Ĥ de ce système dynamique est log n, ce qui montre en particulier que les systèmes obtenus pour des valeurs distinctes de n ne sont pas spatialement isomorphes.

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Pour citer cet article

Antoine BRUNEL. ERGODIQUE THÉORIE [en ligne]. In Encyclopædia Universalis. Disponible sur : (consulté le )

Article mis en ligne le et modifié le 14/03/2009

Autres références

  • PRIX ABEL 2020

    • Écrit par
    • 1 824 mots
    • 2 médias

    Le prix Abel 2020 a été attribué conjointement à Hillel Furstenberg et Gregory Margulis « pour l'utilisation visionnaire de méthodes issues de la théorie des probabilités et de celles des systèmes dynamiques en théorie des groupes, théorie des nombres et combinatoire ».

    Hillel...

  • BIRKHOFF GEORGE DAVID (1884-1944)

    • Écrit par
    • 335 mots

    Après des études à Chicago, Birkhoff enseigna à l'université du Wisconsin (1907-1909), à celle de Princeton (1909-1912) et enfin à l'université Harvard, de 1912 jusqu'à sa mort. Il fut un brillant enseignant et directeur de recherches : vers le milieu du siècle, une bonne partie des plus grands...

  • MÉDAILLES FIELDS 2010

    • Écrit par
    • 652 mots

    Décernées tous les quatre ans à, au plus, quatre mathématiciens âgés de moins de quarante ans, les médailles Fields signalent, en couronnant leurs auteurs, la plupart des avancées majeures en mathématiques pures. Les lauréats de 2010 marquent, par la diversité de leurs contributions, l'abondante production...

  • RIESZ FRÉDÉRIC (1880-1956)

    • Écrit par
    • 1 491 mots
    ...partout des fonctions monotones est d'une simplicité remarquable. D'ailleurs, le lemme élémentaire qu'il a établi et utilisé dans cette démonstration a trouvé plus tard d'autres applications, par exemple dans son important mémoire sur le théorèmeergodique de G. D. Birkhoff et ses généralisations.
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