2. Les théorèmes de G. D. Birkhoff et de J. von Neumann
On va maintenant formaliser le problème ergodique. On se donne un espace compact Ω et une mesure de Radon positive m sur Ω (cf. intégration et mesure ; on peut se placer dans des situations plus générales, mais on n'a pas jugé utile de le faire ici), qui est aussi une probabilité m(Ω) = 1 (cf. calcul desprobabilités). On se donne aussi une transformation mesurable θ : Ω → Ω et on suppose que θ conserve la mesure, c'est-à-dire que θ vérifie la condition :
Théorème de Birkhoff. Soit f une fonction complexe et intégrable sur Ω ; la suite des moyennes de Cesaro :
Dans le cas particulier où la condition (E) suivante est satisfaite : les seuls ensembles invariants sont modulo les ensembles négligeables, l'ensemble Ω et l'ensemble vide, les fonctions invariantes sont les fonctions constantes presque partout (p.p.), et le théorème de Birkhoff donne l'égalité :
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