5. Théorie ergodique, probabilités et potentiels
Les problèmes de convergence qui sont abordés au chapitre 2 concernent l'opérateur T : f ↦ Tf = f ∘ θ agissant dans L1(m) ou L2(m). Cet opérateur possède les propriétés qui suivent :
a) T est linéaire ;
b) T est positif : f ≥ 0 ⇒ Tf ≥ 0 ;
c) T est une contraction, c'est-à-dire : ∥Tf∥1 ≤ ∥f∥1 pour tout f ∈ L1(m).
On peut aussi considérer de façon plus générale des endomorphismes de l'espace (réel) L1(m) possédant les propriétés précédentes et non nécessairement induits par des transformations ponctuelles θ. De tels opérateurs se présentent naturellement dans la théorie des processus markoviens. Ils sont définis à partir d'un noyau N : Ω × B → R̄+ (B désignant la tribu des ensembles mesurables de Ω) où l'on suppose que l'application partielle ω ↦ N (ω, A) est mesurable pour A constant et que l'application A ↦ N(ω, A), ω étant fixé, est une probabilité (ou une sous-probabilité) sur B. À tout f ∈ L1 on associe la mesure réelle μ f sur (Ω, B) par la formule :
Si l'on suppose que μf est absolument continue par rapport à m, et cela quel que soit f, la densité Tf = dμf dm est la transformée de f par T. La vérification des propriétés a, b et c est immédiate.
Le théorème ergodique général, établi en 1960 par Chacon et Ornstein, pour une contraction positive T affirme que : Quelles que soient les fonctions intégrables f et g, g ≥ 0, l'expression :
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