3. Espaces métriques complets
Alors qu'au chapitre précédent les notions introduites (à l'exception de l'uniforme continuité ; cf. infra) sont topologiques, les notions de ce chapitre dépendent de manière essentielle de la distance.
• Suites de Cauchy
B. Bolzano et A. Cauchy ont dégagé l'importance du critère de convergence suivant, qui ne fait pas intervenir la valeur de la limite : une suite (un) de nombres réels est convergente si et seulement si, pour tout ε > 0, il existe un entier N tel que :
(cf. calcul infinitésimal – Calcul à une variable ; nombres réels). D'où le nom de suite de Cauchy donné à une suite (un) d'éléments d'un espace métrique E, de distance d, telle que, pour tout ε > 0, il existe un entier N tel que :
Il est facile de voir que toute suite convergente (un), de limite a, est a fortiori une suite de Cauchy. Pour tout ε > 0, il existe N tel que n ≥ N ⇒ d(un,a) < ε/2 ; pour p ≥ N et q ≥ N, on a donc, en appliquant l'inégalité triangulaire, d(up,uq) ≤ d(up,a) + d(a,uq) < ε. Au contraire, l'exemple de l'ensemble des nombres rationnels montre qu'une suite de Cauchy n'est pas toujours convergente. On dit qu'un espace métrique, comme Rn, dans lequel toute suite de Cauchy est convergente, c'est-à-dire dans lequel les suites de Cauchy coïncident avec les suites convergentes, est un espace complet.
Les notions de suite de Cauchy e […]
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