2. Topologie d'un espace métrique
À partir des boules, on peut construire sur un espace métrique les principales notions topologiques qui permettent de « faire de l'analyse ». À ce propos, par la clarté avec laquelle les notions de limite et de continuité s'expriment au moyen de la terminologie que nous allons introduire, la théorie des espaces métriques constitue un excellent préliminaire à la topologie générale.
• Ouverts et fermés
Soit E un espace métrique de distance d. On dit qu'un sous-ensemble U de E est ouvert si pour tout point x ∈ U il existe une boule ouverte de centre x contenue dans U. D'après un principe général de logique, l'ensemble vide, qui n'a pas d'élément, est donc ouvert. Faisons le lien avec la terminologie introduite plus haut en montrant qu'une boule ouverte B(x0, r) est un ensemble ouvert : en effet, si x ∈ B(x0, r), l'inégalité triangulaire entraîne que B(x, r′) ⊂ B(x0, r) pour r′ = r − d(x0, x) > 0. On voit donc qu'un ensemble U est ouvert si et seulement si c'est une réunion de boules ouvertes.
La famille des ouverts d'un espace métrique vérifie les propriétés suivantes qui sont prises en topologie générale comme axiomes pour définir une topologie : (O1) E et o/ sont des ensembles ouverts ; (O2) Toute réunion (finie ou pas) d'ensembles ouverts est un ensemble ouvert ; (O3) Toute intersection finie d'ouverts est un ouvert.
Montrons ce dernier point. Soit U1, U2, ..., Un des ouverts ; si l'intersection est vide, c'est terminé d'après (O1). Sinon, soit x ∈ U1 ∩ ... ∩ Un = U ; par hypothèse, il existe ri, i = 1, ..., n, tels que B(x, ri) ⊂ Ui et par suite B(x, r) ⊂ U pour r = inf (r1, ..., r< […]
… pour nos abonnés, l'article se prolonge sur 9 pages…
