La géométrie antique, telle qu'elle apparaît dans les Éléments d'Euclide, propose une vision formalisée de l'espace. Elle traite d'objets géométriques idéalisés – points, droites, polyèdres, sections coniques, etc. – selon leurs propriétés d'incidence et leurs mesures (longueurs, aires, volumes). La description repose sur un petit nombre de propositions admises sans discussion, les axiomes, dont toutes les autres propriétés découlent par une suite de démonstrations précises.
Ce paradigme « euclidien » formalise nos notions intuitives de l'espace, et il domine la géométrie occidentale jusqu'à la fin du Moyen Âge. Les développements ultérieurs des mathématiques vont conduire à de multiples notions d'espace, puisque ce terme apparaît dans de nombreux contextes où l'intuition géométrique s'applique ; on parle par exemple d'espace topologique ou d'espace fonctionnel. On va décrire ici quelques notions plus spécifiquement géométriques.
1. De la géométrie projective aux espaces symétriques
À la Renaissance, l'invention de la perspective, par des peintres comme Piero della Francesca (1410-1492), Léonard de Vinci (1452-1519) ou Albrecht Dürer (1471-1528), conduit à étudier les projections sur un plan, depuis un point usuel ou « à l'infini ». Les notions qui émergent alors sont formalisées en 1636 par Girard Desargues, dans le cadre nouveau de la géométrie projective. Desargues ajoute au plan euclidien (et à l'espace euclidien) des points « à l'infini », pour obtenir le « plan projectif » (et l'espace projectif de dimension trois). La notion de distance disparaît, mais les notions de droite, de plan, de projection et de conique subsistent. Il existe des transformations qui envoient les points à l'infini sur des points « usuels », et qui envoient à l'infini des points « usuels ».
On peut identifier le plan projectif avec l'espace des droites de l'espace euclidien qui passent par l'origine ; si on fixe un plan P ne contenant pas l'origine, les points de P sont chacun associés à une droite qui n'est pas parall […]
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