ESPACE, mathématique

2.  Le paradigme riemannien

Un autre point de vue sur la géométrie apparaît au milieu du xvii^e siècle, lorsque René Descartes remarque que la position des points de l'espace euclidien peut être décrite par la donnée de trois nombres, ses coordonnées cartésiennes, qui indiquent la position de ses projections sur trois droites orthogonales. Ainsi, des objets géométriques – droites ou ellipses, mais aussi courbes plus générales – sont décrits comme ensembles de solutions d'équations algébriques portant sur leurs coordonnées. Un pont est jeté entre la géométrie et l'algèbre, voire l'analyse.

Vers 1820, Carl Friedrich Gauss, étudiant la géodésie, comprend que l'utilisation de coordonnées n'est pas réservée au plan euclidien, mais s'applique aussi aux surfaces dans l'espace. Gauss découvre que les propriétés métriques locales de ces surfaces sont déterminées par un nombre défini en chaque point, la courbure. Une surface peut être appliquée sur un plan, sans changer la longueur des courbes qui y sont tracées, si et seulement si sa courbure est nulle ; la courbure de la sphère étant égale partout à 1, il est impossible de réaliser sans déformation des cartes de la Terre.

Ces considérations prennent une extension considérable en 1846 dans le mémoire d'habilitation de Bernhard Riemann. Riemann, loin de se restreindre à considérer des surfaces dans l'espace, introduit des objets de dimension quelconque (qu'on appelle aujourd'hui variétés différentielles) qui admettent au voisinage de chaque point un système de coordonnées. On peut alors parler d'espace tangent en chaque point, comme pour les surfaces dans l'espace euclidien. Riemann considère sur chacun de ces espaces tangents un produit scalaire, ce qui permet de définir la norme des vecteurs tangents, donc la longueur d'une courbe, et par là même la distance entre deux points – on parle de métrique riemannienne. Enfin, Riemann montre que les propriétés géométriques locales de ses variétés sont déterminées en chaque point par un objet comple […]