2. Calcul algébrique, différentiel et intégral
Le calcul n'est pas que numérique. Le monde musulman découvre vers l'an 1000 que des manipulations de symboles permettent de déterminer la valeur de quantités connues seulement indirectement par les relations qu'elles entretiennent. C'est l'avènement de l'algèbre, originellement procédé effectif de réduction d'équations où figurent des inconnues. Ce déplacement du domaine du calcul, des nombres vers les « symboles » ou formules, est à la base de l'algèbre classique. Celle-ci évoluera au xixe siècle vers la recherche de structures abstraites profondes, transverses à différentes branches des mathématiques, mais donnant lieu in fine à des calculs communs. L'époque de Newton et Leibniz (xviie siècle) voit l'invention de l'analyse mathématique, laquelle étudie les grandeurs variables ou fonctions. Un calcul dit « différentiel et intégral » permet d'analyser les variations de telles fonctions, tant localement que globalement. On sait les succès de cette méthode étroitement imbriquée au spectaculaire développement de la physique. Les lois régissant l'attraction des corps, la chaleur, les fluides, les ondes sont du ressort de cette théorie : elles sont décrites par des équations différentielles (reliant les quantités à leurs variations) et l'analyse constitue, d'un certain point de vue, le « calcul symbolique » sous-jacent à cet ensemble d'applications.
La révolution de l'analyse a des conséquences tangibles dans le calcul des constantes fondamentales. À partir de 1650, de nombreuses formules en apparence étrangères à la géométrie élémentaire voient le jour. Ainsi peut-on déterminer π par un surprenant procédé infini qui consiste à multiplier par 4 la somme des fractions 1 /1, – 1 /3, 1 /5, – 1 /7, etc. Les progrès induits par l'analyse sont frappants : tandis que seules 15 décimales de π sont connues en 1600, les records s'établissent à 79 chiffres en 1700, 138 en 1800, et 527 en 1900. Des progrès de la science mathématique découlent les progrès du calcul.
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