Dans tout ce qui suit, on se bornera à considérer des anneaux commutatifs unitaires, c'est-à-dire possédant un élément unité pour la multiplication, noté 1. Les définitions sont celles de l'article suivant, anneaux et algèbres.
De nombreux cas particuliers d'anneaux commutatifs unitaires ont été étudiés au xixe siècle, principalement à propos de recherches de théorie des nombres et de géométrie algébrique. Introduits à l'origine pour étudier la divisibilité dans de tels anneaux, les idéaux, cas particuliers de modules, se sont révélés essentiels dans de nombreuses questions. En fait, la classification des différents types d'anneaux s'effectue suivant la structure de leurs idéaux.
L'arithmétique des anneaux dits principaux est analogue à l'arithmétique des nombres entiers ou des polynômes ; plus généralement, on peut étudier de manière satisfaisante l'arithmétique des anneaux de Dedekind : ici, les propriétés de divisibilité, déroutantes a priori, s'expriment harmonieusement dans le cadre de la théorie des idéaux. Une autre généralisation possible des anneaux principaux, qui englobe d'ailleurs la précédente, est liée à d […]
Autres références
« ANNEAUX COMMUTATIFS » est également traité dans :
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ALGÉBRIQUES STRUCTURES
Auteur :
Jean-Marie PRUVOST-BEAURAIN
Dans le chapitre "Espèces de structures plus riches que celle d'annoïde" : …
interne l⊤, c'est-à-dire que :
Tout anneau est un annoïde. *Un anneau (E, l⊤, l⊥) est dit commutatif (respectivement unifère ou unitaire) si (E, l⊥) est commutatif (respectivement est un monoïde). Tout annoïde (E, λ⊤…
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ANNEAUX & ALGÈBRES
Auteur :
Jean-Luc VERLEY
Dans le chapitre "Définitions" : …
la multiplication est de plus commutative, c'est-à-dire xy = yx ; un tel *anneau est alors dit commutatif.Cependant on ne peut pas se limiter à ce cas, car des anneaux importants dans la pratique, les anneaux de matrices par exemple, ne possèdent pas cette propriété ; comme on le verra au début du chapitre, le…
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ARTIN EMIL (1898-1962)
Auteur :
Jean-Luc VERLEY
Dans le chapitre "Travaux divers et enseignement" : …
d'Artin. Dans un mémoire de 1928, il étend certains résultats de la théorie des algèbres aux *anneaux commutatifs dans lesquels il n'existe pas de chaîne infinie décroissante d'idéaux à gauche ; ces anneaux sont appelés artiniens. Il appartenait aussi à Artin, en collaboration avec O. Schreier, de montrer l'importance des corps ordonnés. Pour…
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CONSTRUCTION, mathématique
Auteur :
André WARUSFEL
de ℕ, à savoir l'addition et la multiplication. Elles y gardent l'essentiel de leurs propriétés. *L'ensemble des entiers relatifs est ainsi structuré en anneau commutatif. Cela dit, une opération partielle de ℤ ne peut être partout définie : il s'agit cette fois-ci de la division, puisque, si a et b sont donnés, il est…
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NORMÉES ALGÈBRES
Auteurs :
Jean-Luc SAUVAGEOT, René SPECTOR
Dans le chapitre "La notion d'algèbre normée" : …
, Pour cette raison, les algèbres normées sont fréquemment appelées algèbres de Banach, par analogie avec les espaces vectoriels normés complets, dits espaces de Banach. *Si la multiplication interne est commutative, on parle d'algèbre normée commutative. Si la multiplication interne possède une unité, on parle d'algèbre normée unitaire…
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Bibliographie
N. Bourbaki, Éléments de mathématique. Algèbre commutative, Masson, nouv. éd., 1985
R. Goblot, Algèbre commutative, cours et exercices corrigés, coll. Science Sup, Dunod, 2e éd. 2001
R. Godement, Cours d'algèbre, Hermann, 3e éd. 1980
S. Lang, Undergraduate Algebre, Springer-Verlag, New York, 1987
A. Legoff, Cours d'algèbre, Ellipses, 1987
P. Samuel & O. Zariski, Commutative Algebra, Princeton, vol. II, 1976.
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