La théorie des approximations diophantiennes concerne principalement l'approximation des irrationnels par des rationnels. Dans le cas d'un seul irrationnel, un rôle essentiel est joué par les fractions continuées (utilisées dès 1650 par Huygens pour le calcul des engrenages des horloges astronomiques).L'approximation des irrationnels algébriques fut étudiée par une méthode directe en 1844 par Liouville ; ses résultats furent améliorés à de nombreuses reprises jusqu'à l'important et définitif résultat de Roth en 1955.Dans le cas de plusieurs irrationnels, on peut soit chercher à approcher chacun d'eux par un rationnel, soit chercher à rendre minimale une forme linéaire à variables entières, à coefficients irrationnels (problème dual du précédent). Dans les deux cas, la théorie des réseaux de points (ou Z-modules, comme Zn par exemple) joue un grand rôle, avec la caractérisation de ses bases et le théorème fondamental de Minkowski sur les domaines convexes symétriques d'un réseau ; ce dernier théorème conduit principalement à la résolution en entiers d'inégalités à coefficients irrationnels, ce qui est aussi un problème d'app […]
DIOPHANTIENNES APPROXIMATIONS
Autres références
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Auteurs : Jean-Louis COLLIOT-THÉLÈNE, Marcel DAVID, E.U.
Dans le chapitre "Le premier et le second degré" : … si aet b ne sont pas trop grands ; sinon, on développe a/ben *fraction continuée et, si a/b = pn/qn est la n-ième réduite, on prend la (n − 1)-ième qui, au signe près, donne u0 = q… Lire la suite- KHINTCHINE ALEXANDRE IAKOVLEVITCH (1894-1959)
Auteur : E.U.
*Mathématicien soviétique, né à Kondrovo et mort à Moscou, membre correspondant de l'Académie des sciences de l'U.R.S.S., professeur à l'université de Moscou, prix Staline (1941). Ses premiers travaux concernent la théorie des fonctions d'une variable réelle, où il introduit la notion de dérivée asymptotique, généralise la notion d'intégrale de… Lire la suite- NOMBRES (THÉORIE DES)
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intervient une technique nouvelle, celle des fractions continuées, premier exemple d'utilisation d'*approximations diophantiennes pour la résolution d'équations diophantiennes. Jusque-là, les procédés de résolution d'équations diophantiennes consistaient en des manipulations algébriques élémentaires plus ou moins subtiles, pour permettre une… Lire la suite
Bibliographie
A. Baker, Transcendental Number Theory, Cambridge Univ. Press, 1990
G. H. Hardy & E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, Oxford Univ. Press, New York, 5e éd. 1979
S. Lang, Introduction to Diophantine Approximations, Addison, Reading (Mass.), 1966
W. M. Schmidt, Diophantine Approximations and Diophantine Equations, Springer-Verlag, New York, 1991
K. B. Stolarsky, Algebric Numbers and Diophantine Approximation, M. Dekker, New York, 1974
G. Wustholz, Diophantine Approximation and Transcendence Theory, in Lecture Notes in Mathematics Ser., vol. 1290, Springer-Verlag, New York.
Auteur de l'article
- Marcel DAVID (professeur à la faculté des sciences de Reims)
Sommaire
Composition de l'article
- Nombre de pages : 8 pages
- Bibliographie : 6 références
