L'étude élémentaire de la divisibilité dans l'anneau Z des entiers relatifs résulte de l'existence de la division euclidienne qui entraîne que cet anneau est principal.Les propriétés générales des anneaux principaux sont exposées dans l'article anneaux commutatifs, et nous nous contenterons ici d'énumérer les principaux résultats relatifs au cas particulier qui nous occupe ici.
L'étude plus fine et plus spécifique de l'anneau Z (nombre de diviseurs d'un nombre donné, somme de ces diviseurs, etc.) introduit des fonctions arithmétiques multiplicatives. Les indications qui suivent sont très élémentaires, mais il est important de noter qu'un grand nombre des résultats obtenus ont été généralisés aux corps de nombres algébriques ; le dernier chapitre donne un aperçu de ces propriétés dans le cas des corps quadratiques, en renvoyant à l'article théorie des nombres - Nombres algébriques pour l'exposé de la théorie sous sa forme contemporaine.
L'anneau Z des entiers relatifs possède la propriété suivante de division […]
Autres références
« DIVISIBILITÉ » est également traité dans :
-
ALGÉBRIQUES STRUCTURES
Auteur :
Jean-Marie PRUVOST-BEAURAIN
Dans le chapitre "Espèces de structures plus riches que celle d'annoïde" : …
l'élément neutre de la loi l⊥, et a et b deux éléments de E. *On dit que b divise a, ou que b est un diviseur de a, ou que a est un multiple de b, s'il existe dans A au moins un élément q tel que a = b…
Lire la suite
-
ANNEAUX COMMUTATIFS
Auteur :
Jean-Luc VERLEY
Dans le chapitre "Notions fondamentales" : …
*La présence dans un anneau de diviseurs de zéro, c'est-à-dire d'éléments a et b, tous deux non nuls, dont le produit est nul, rend illusoire toute théorie satisfaisante de la divisibilité. Les anneaux commutatifs sans diviseurs de zéro sont appelés des anneaux intègres ou anneaux d'intégrité. Nous allons, dans ce…
Lire la suite
-
NOMBRES (THÉORIE DES) - Nombres algébriques
Auteur :
Christian HOUZEL
Dans le chapitre "Les « nombres idéaux » de Kummer" : …
pas toujours, par des valuations ; au moyen de ces valuations, on peut énoncer un critère de *divisibilité pour les entiers cyclotomiques, qui joue le rôle de la décomposition en facteurs premiers lorsque celle-ci est possible. Théorème.Soit f (α) et g(α) deux entiers cyclotomiques. Pour que f (α) divise…
Lire la suite
-
ORDONNÉS ENSEMBLES
Auteur :
André WARUSFEL
Dans le chapitre "Quelques ordres sur N*" : …
obtenir ainsi. Après la relation ≤ usuelle, la relation d'ordre la plus courante est la relation de *divisibilité : si pdivise q, c'est-à-dire si qest multiple de p : cela signifie qu'il existe un entier m ∈ N*tel que q = mp.Sur la figure, on a représenté le diagramme…
Lire la suite
Retour en haut
Bibliographie
Z. J. Borevitch & I. R. Chafarevitch, Théorie des nombres, trad. J. L. Verley, Gauthier-Villars, Paris, 1967
G. H. Hardy & E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, Oxford Univ., New York, 1979
K. Ireland & M. Rosen, A Classical Introduction to Modern Number Theory, Springer-Verlag, New York, 2e éd. 1990
E. Lucas, Théorie des nombres : le calcul des nombres entiers, le calcul des nombres rationnels, la divisibilité arithmétique, 1958, repr. A. Blauchard, 1979
T. Nagell, Introduction to Number Theory, Chelsea Publ., New York, 1981
I. Niven & H. S. Zuckermann, An Introduction to the Theory of Numbers, Wiley, New York, 1980
H. N. Shapiro, Introduction to the Theory of Numbers, Wiley, New York, 1983
H. M. Stark, An Introduction to Number Theory, M.I.T. Press, Cambridge (Mass.), 1978.
Retour en haut
