Dans une note publiée au Journal de Crelle en 1844, le Belge Eugène Catalan (1814-1894), alors répétiteur à l'École polytechnique, proposait l'énoncé suivant : « Il n'existe que deux nombres entiers consécutifs qui soient également des puissances parfaites, et ces deux nombres sont 8 et 9 ». L'expression algébrique de cette conjecture est : l'équation xm — yn = 1, où x, y, m et n sont quatre entiers inconnus au moins égaux à 2, admet comme unique solution 32 — 23 = 1.
Le Français Victor-André Lebesgue (1799- ?) a éliminé le cas n = 2 dès 1850, mais il a fallu attendre 1960 pour que le cas m = 2 soit résolu par le Chinois Ko Chao : 32 — 23 = 1 est la seule solution. Ainsi, il suffit d'étudier l'équation xp — yq = 1, où les exposants p et q sont des nombres premiers impairs, et même plus grands que 3 [travaux du Norvégien Trygve Nagell (1895-1988), 1921].
En 1964, le Britannique John William Scott Cassels (Cambridge) a montré que si une solution existe, alors p</ […]
