SHIMURA-TANIYAMA-WEIL CONJECTURE DE

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« Toute courbe elliptique sur ℚ est modulaire » : la conjecture de Shimura-Taniyama-Weil est devenue un théorème en 1999, mais l'appellation initiale est demeurée. Sa démonstration est due au mathématicien anglais Andrew Wiles et à ses continuateurs (cf. bibliographie : Wiles [1995] ; Taylor et Wiles [1995] ; Diamond [1996] ; Conrad, Diamond et Taylor [1999] ; et Breuil, Conrad, Diamond et Taylor [2001] ; voir aussi Kisin [2004]), mais elle s'appuie sur les travaux antérieurs de nombreux mathématiciens. Ce résultat exprime un lien très profond, conjecturé pendant presque quarante-cinq ans, entre deux objets mathématiques : d'une part les courbes elliptiques sur ℚ et d'autre part les formes modulaires de poids 2. Les premières sont de nature arithmético-géométrique et les secondes de nature arithmético-analytique. Dans cet article, nous introduisons les courbes elliptiques, puis les formes modulaires. Nous formulons ensuite précisément la « conjecture ». Enfin, nous présentons un bref historique et donnons une petite idée de la preuve.

Courbes elliptiques

Définition

La géométrie arithmétique moderne puise en partie sa source dans l'étude des équations polynômiales : (1) P(X, Y) = 0, où

est un polynôme à deux variables X et Y et à coefficients Ai,j dans le corps des rationnels ℚ. Le cas le plus simple est celui d'une droite P(X, Y) = A1,0X + A0,1Y + A0,0 (degré 1). Puis vient le cas des coniques (degré 2) : ellipses (par exemple cercles), paraboles et hyperboles.

On peut ainsi s'intéresser aux solutions (X, Y) de (1) dans n'importe quel corps contenant ℚ, par exemple le corps ℂ des nombres complexes, ou bien celui ℝ des réels, ou encore ℚ lui-même. On peut essayer de décrire les propriétés géométriques de la courbe formée par les solutions dans ℂ ou ℝ (singularités, composantes connexes, etc.) et, ce qui est beaucoup plus difficile en général, les propriétés arithmétiques des solutions dans ℚ (nombre de ces solutions, taille, etc.). Une telle étude géométrique et arithmétique des droites et des coniques est bien comprise. Le cas qui vient immédiatement après est celui des cubiques, c'est-à-dire du degré 3, que l'on peut ramener, après un changement de variable convenable, à l'étude des équations : (2) Y2 – X3 – AX – B = 0, avec A et B dans ℚ. Lorsque X3 + AX + B = 0 n'a pas de racine double dans ℂ (en fait automatiquement dans ℝ), les solutions (X, Y) dans ℝ×ℝ de (2) sont de la forme indiquée par les figures 1 et 2, et lorsque X3 + AX + B = 0 a une racine double, voire triple, elles sont de la forme indiquée par les figures 3 et 4.

Les deux premiers cas correspondent à des cubiques dites lisses, aussi appelées courbes elliptiques, et les deux derniers à des cubiques dites singulières. L'étude arithmétique de ces cubiques avec singularités est bien comprise et s'apparente un peu à celle des coniques. Nous les oublions dans la suite. L'étude arithmétique des courbes elliptiques est, en revanche, bien plus riche.

Loi de groupe commutatif

Soit E une courbe elliptique définie sur ℚ, c'est-à-dire la donnée d'une équation comme en (2) avec X3 + AX + B = 0 sans racine double. Il est remarquable que l'ensemble des solutions de (2) dans un corps contenant ℚ est alors naturellement muni d'une structure de groupe commutatif. Expliquons ce fait pour le corps ℝ.

Notons E(ℝ) l'ensemble des solutions (X, Y) de (2) dans ℝ×ℝ. En fait, il est très pratique en géométrie algébrique de remplacer l'équation (2) par l'équation « homogénéisée » : (3) Y2Z – X3 – AXZ2 – BZ3 = 0 et de définir plutôt E(ℝ) comme l'ensemble des classes d'équivalence de triplets (X, Y, Z) ∈ ℝ3 – {(0, 0, 0)} solution de (3) pour la relation d'équivalence (X, Y, Z) ∼ (λX, λY, λZ) où λ ∈ ℝ – {0}. Les classes d'équivalence des triplets (X, Y, Z) solutions de (3) avec Z ≠ 0 correspondent exactement aux solutions de (2) en associant à une telle classe les coordonnées (X/Z, Y/Z). Mais on a maintenant en plus un « point à l'infini » dans E(ℝ) correspondant à la classe du triplet (0, 1, 0).

L'ensemble E(ℝ) est alors muni d'une loi de groupe commutatif d'élément neutre le point à l'infini comme suit. Soient P et Q deux points de E(ℝ). Si P et Q sont tous deux différents du point à l'infini, et donc correspondent à deux points sur la courbe de la figure 1, traçons la droite (PQ) les joignant. Si cette droite n'est pas verticale, elle coupe toujours la courbe en un troisième point R car la courbe a une équation de degré 3. On définit alors P ⊕ Q comme le point symétrique de R par rappor [...]

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Pour citer l’article

Christophe BREUIL, « SHIMURA-TANIYAMA-WEIL CONJECTURE DE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 15 mai 2022. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/conjecture-de-shimura-taniyama-weil/