SHIMURA-TANIYAMA-WEIL CONJECTURE DE

Définition

La géométrie arithmétique moderne puise en partie sa source dans l'étude des équations polynômiales : (1) P(X, Y) = 0, où

On peut ainsi s'intéresser aux solutions (X, Y) de (1) dans n'importe quel corps contenant ℚ, par exemple le corps ℂ des nombres complexes, ou bien celui ℝ des réels, ou encore ℚ lui-même. On peut essayer de décrire les propriétés géométriques de la courbe formée par les solutions dans ℂ ou ℝ (singularités, composantes connexes, etc.) et, ce qui est beaucoup plus difficile en général, les propriétés arithmétiques des solutions dans ℚ (nombre de ces solutions, taille, etc.). Une telle étude géométrique et arithmétique des droites et des coniques est bien comprise. Le cas qui vient immédiatement après est celui des cubiques, c'est-à-dire du degré 3, que l'on peut ramener, après un changement de variable convenable, à l'étude des équations : (2) Y² – X³ – AX – B = 0, avec A et B dans ℚ. Lorsque X³ + AX + B = 0 n'a pas de racine double dans ℂ (en fait automatiquement dans ℝ), les solutions (X, Y) dans ℝ×ℝ de (2) sont de la forme indiquée par les figures 1 et 2, et lorsque X³ + AX + B = 0 a une racine double, voire triple, elles sont de la forme indiquée par les figures 3 et 4.

Les deux premiers cas correspondent à des cubiques dites lisses, aussi appelées courbes elliptiques, et les deux derniers à des cubiques dites singulières. L'étude arithmétique de ces cubiques avec singularités est bien comprise et s'apparente un peu à celle des coniques. Nous les oublions dans la suite. L'étude arithmétique des courbes elliptiques est, en revanche, bien plus riche.

Loi de groupe commutatif

Soit E une courbe elliptique définie sur ℚ, c'est-à-dire la donnée d'une équation comme en (2) avec X³ + AX + B = 0 sans racine double. Il est remarquable que l'ensemble des solutions de (2) dans un corps contenant ℚ est alors naturellement muni d'une structure de groupe commutatif. Expliquons ce fait pour le corps ℝ.

Notons E(ℝ) l'ensemble des solutions (X, Y) de (2) dans ℝ×ℝ. En fait, il est très pratique en géométrie algébrique de remplacer l'équation (2) par l'équation « homogénéisée » : (3) Y²Z – X³ – AXZ² – BZ³ = 0 et de définir plutôt E(ℝ) comme l'ensemble des classes d'équivalence de triplets (X, Y, Z) ∈ ℝ[...]