OPÉRATIONNELLE RECHERCHE

Caractère des problèmes aléatoires

Dans le domaine des choix aléatoires, il n'est plus possible d'évaluer avec certitude les éléments nécessaires au calcul des conséquences des décisions possibles. Ces éléments oscillent autour d'une valeur moyenne. C'est par le jeu des répétitions statistiques qu'on peut étudier la façon dont se répartissent ces fluctuations.

La difficulté tient au fait que les conséquences des décisions ne s'expriment plus sous la forme d'un nombre, mais d'une distribution de fréquences. On doit alors comparer différentes distributions pour choisir la meilleure décision. Ces distributions peuvent heureusement se résumer par leurs paramètres ; en général, la moyenne et la variance suffisent. La moyenne donne la valeur sur laquelle se situe la distribution, et la variance permet d'apprécier les fluctuations autour de cette moyenne. Ces renseignements seraient de bien piètre utilité si les mathématiciens n'avaient pas donné aux praticiens l'outil du calcul des probabilités. Mais un pont reste à franchir entre l'observation des répétitions d'un phénomène, qui est un souci de la statistique descriptive, et la théorie des probabilités, riche en lois, en formules, en tables et en abaques susceptibles de fournir les solutions de nombreux problèmes, à la seule condition qu'on se soit assuré au préalable qu'il n'est pas déraisonnable de supposer que les répétitions observées sont bien le reflet de telle loi de la théorie des probabilités : c'est l'objet de la statistique mathématique et des tests d'hypothèses.

Rationnel et raisonnable à la fois, l'analyste est alors à même de donner une solution acceptable aux problèmes aléatoires de l'entreprise.

De nombreux problèmes de gestion se classent dans cette catégorie ; le hasard intervenant dans le contexte d'un choix, il s'agit en général de trouver le meilleur compromis entre deux phénomènes antagonistes.

Les phénomènes d'attente

Les goulets d'étranglement proviennent de l'impossibilité d'exiger la rentabilité d'un service individuel. Il faut alors se résigner à partager ce service avec d'autres clients et s'armer bien souvent de patience dans les files d'attente. Dans une file d'attente, les arrivées des clients à des stations où ils viennent demander un service s'opèrent d'une façon aléatoire ; la durée du service est elle-même en partie gouvernée par le hasard. On cherche à établir un compromis entre le temps perdu par les clients du fait de l'attente et la multiplication des stations de service qui ne fonctionnent pas gratuitement.

L'analyste, observant d'une part la répétition des entrées et d'autre part celle des services, en déduit le nombre moyen d'entrées ainsi que le nombre moyen de services par unité de temps. Sachant que bien souvent un phénomène tel que celui des entrées de la clientèle est régi par une loi de Poisson et celui des services par une loi exponentielle, il s'assure de la vraisemblance de ces hypothèses en soumettant le résultat de ses observations à un test statistique (test de χ² ou de Pearson). Si le résultat de ce test n'est pas défavorable, un modèle de file d'attente est rigoureusement établi à l'aide du calcul des probabilités, et l'analyste n'a plus qu'à en utiliser les résultats.

Il peut, dans le cas d'ouvriers et de magasiniers par exemple, minimiser le coût supporté du fait de l'attente des clients dans la file et de l'inoccupation de certaines stations pour un meilleur profit de l'entreprise.

Entretien préventif et renouvellement des équipements

La fiabilité, qui est l'étude de la résistance des matériels aux pannes, est une partie importante de la recherche opérationnelle. L'entretien préventif (c'est-à-dire, par exemple, le changement d'une pièce avant que cette pièce soit hors d'usage) permet de réduire les conséquences d'une panne pour des matériels d'usure. L'usure, présentant un caractère aléatoire, oblige à prévoir le renouvellement des équipements si on veut les maintenir en service permanent. On recherche dans ce cas le meilleur taux de réapprovisionnement. Ce taux dépend de la loi d'usure qu'on s'efforcera de définir statistiquement par l'observation des équipements gérés. Un taux de service trop élevé limite les risques d'arrêt intempestif, mais il augmente les frais d'entretien et de stockage. Or, ce taux n'est pas constant, ce qui est une nouvelle cause de souci pour le gestionnaire qui recherchera, par un entretien préventif, le meilleur compromis entre le sacrifice qu'entraîne le remplacement d'un matériel incomplètement usé et les conséquences d'une panne.

Pour un équipement comportant une pièce fragile, la fonction de survie de la pièce donne la probabilité de son fonctionnement à l'époque t. Si l'on attend la défaillance pour procéder au remplacement de la pièce usée, on subit avec certitude toutes les conséquences d'une mise hors de service de l'équipement. Si, au contraire, on décide de remplacer systématiquement la pièce fragile à l'occasion des heures d'entretien de l'équipement dès que la pièce a atteint un âge θ, âge qui est justement à déterminer, on ne subira le coût de la panne qu'avec une probabilité réduite, la panne n'étant pas certaine.

Évaluant les coûts moyens des deux décisions possibles, on calcule en fonction de θ et à l'aide de la fonction de survie le minimum du coût relatif à l'entretien préventif. Si ce coût est inférieur au coût de la première décision, la valeur de θ obtenue donne l'âge à partir duquel on a tout intérêt à effectuer le remplacement.

Gestion scientifique des stocks

Dans les problèmes de stocks, les demandes de la clientèle ne pouvant être exactement connues ni en date, ni en quantité, et le réapprovisionnement n'étant pas instantané, on s'efforce, devant ces phénomènes aléatoires, de se prémunir contre deux risques : celui d'une rupture de stock, cause d'un manque à la vente pénalisé par un coût de pénurie qu'entraîne obligatoirement une commande trop faible ; et celui d'un surstock, cause d'une immobilisation d'un capital et d'un coût de stockage sans utilité, conséquence d'une commande trop élevée.

L'observation du phénomène permet d'estimer au mieux la demande moyenne de la clientèle (détermination d'un modèle par l'étude des séries chronologiques) ainsi que son aléa, c'est-à-dire l'ampleur des fluctuations (étude statistique de la distribution des fréquences de la demande). On détermine ensuite, en limitant les risques selon les possibilités ou le désir du gestionnaire (fixation du taux de service, c'est-à-dire du pourcentage des demandes qui seront en moyenne honorées), la commande destinée à satisfaire non seulement la demande moyenne estimée, mais encore une partie du supplément éventuel dû aux fluctuations et susceptible de se manifester (stock de sécurité), ainsi que les règles de déclenchement des commandes successives.