LEBESGUE HENRI (1875-1941)

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Classification des fonctions

René Baire, en répétant des passages à la limite indéfiniment et même transfiniment, avait discerné des propriétés que Lebesgue nomme « qualitatives », pour les distinguer des propriétés numériques, qui établissent une hiérarchie dans une très vaste famille de fonctions dites « fonctions de Baire ». D'autres familles de fonctions, rebelles à l'intégrale de Riemann, peuvent être envisagées grâce à la mesure et à l'intégrale de Lebesgue : elles ne seront régulières que « presque partout », c'est-à-dire à l'exception d'un ensemble de mesure nulle.

Lebesgue nomme mesurables les fonctions f telles que le domaine défini par b, 0 < f (x) a une mesure : ce sont non seulement les fonctions intégrales de Riemann, mais aussi toutes les fonctions de Baire. Si les sommes introduites sont celles (3) de l'intégrale de Lebesgue, la fonction est dite sommable. En langage moderne, elles sont caractérisées par la condition : l'image réciproque par f de tout intervalle est un ensemble mesurable.

Lebesgue montra immédiatement la fécondité de ses conceptions par les théorèmes fondamentaux de passage à la limite : Toute suite convergente de fonctions sommables inférieures à une fonction sommable a une limite sommable et est intégrable terme à terme.

Les théorèmes précédents permettent à Lebesgue de préciser la liaison entre intégrales et primitives, car la dérivée g′(x) considérée comme limite de :

est définissable comme limite d'une suite. Lebesgue en déduit que lorsque la fonction f est sommable, le problème de la recherche des primitives est résolu par la formule :

Des travaux de Baire il résulte que, dans tout intervalle, il en existe un où la formule s'applique. Pour obtenir F il fallait donc « raccorder les morceaux ». Ce fut l'œuvre, en particulier, de Arnaud Denjoy.

Concernant la dérivée, Lebesgue obtient l'énoncé : Toute fonction à variation bornée admet une dérivée « presque partout », et cette dérivée est sommable.

Restait à caractériser les fonctions satisfaisant à (I). Ce sont celles dont la variation totale dans un intervalle ouvert U tend [...]


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Pour citer l’article

Lucienne FÉLIX, « LEBESGUE HENRI - (1875-1941) », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 20 mai 2020. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/henri-lebesgue/