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LEBESGUE HENRI (1875-1941)

L'intégrale et la mesure de Lebesgue

Les sommes de Riemann (1), valables pour les fonctions continues, ne conviennent qu'à des classes particulières de fonctions discontinues parce qu'elles font appel à la condition de continuité : f (x) varie peu dans l'intervalle (xi, xi+1). Lebesgue a l'idée de retourner la situation : « Nous voulons grouper des valeurs voisines de f (x) ? Faisons-le ! » Si la fonction f est bornée, c'est l'intervalle (m, M) des bornes qu'on doit partager en petits intervalles (yi, yi+1) et l'on groupera les valeurs de x qui assurent yi < f (x) < yi+1. Elles constituent un ensemble auquel il faudra attacher une mesure mi. Les sommes à considérer seront ainsi :

Lebesgue justifie cette définition constructive de l'intégrale, présentée ici sous une forme particulière, par son équivalence avec une définition descriptive basée sur les caractères attribués à une mesure. L'important est qu'il est fait appel à l'additivité complète.

Les chapitres de géométrie classique concernant les aires et volumes de polygones ou polyèdres ont toujours utilisé implicitement des conditions dont la plus essentielle est l'additivité : la réunion d'ensembles disjoints a pour mesure la somme de leurs mesures. Émile Borel, le premier, a formulé explicitement une définition en précisant que la propriété s'applique à une infinité dénombrable d'intervalles : c'est l'additivité complète. La définition concerne donc les classes d'ensembles, dits maintenant «   boréliens ». Elle introduit la notion d'ensemble infini de mesure nulle.

Partant de cette définition descriptive, Lebesgue formule une définition constructive. Ainsi, pour un ensemble E plan inclus dans un carré C de mesure c, il considère un recouvrement par des carrés disjoints en infinité dénombrable et nomme mesure extérieure me (E) de E la borne inférieure de la somme des aires de ces carrés. Considérant de même la mesure extérieure me (F) de la différence F = C − E ensemble des points appartenant à C mais non à E, il nomme mesure intérieure de E, le nombre mi (E) = c − me (F). Dans le cas de l'égalité me (E) = mi (E), l'ensemble E est dit mesurable, de mesure m (E) = me (E) = mi (E).

Lebesgue démontre que le nombre ainsi construit satisfait aux conditions descriptives de Borel pour une classe d'ensembles qu'il qualifie de « mesurables B ».

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Pour citer cet article

Lucienne FÉLIX. LEBESGUE HENRI (1875-1941) [en ligne]. In Encyclopædia Universalis. Disponible sur : (consulté le )

Autres références

  • BAIRE RENÉ-LOUIS (1874-1932)

    • Écrit par Jean-Luc VERLEY
    • 332 mots

    Les travaux du mathématicien français René-Louis Baire portent principalement sur la théorie des fonctions de variables réelles. Ancien élève de l'École normale supérieure, Baire enseigna d'abord à l'université de Montpellier. En 1905, il vint faire au Collège de France ses célèbres ...

  • LUZIN NIKOLAÏ NIKOLAÏEVITCH (1883-1950)

    • Écrit par Jean LOUVEAUX
    • 849 mots

    Mathématicien russe. Né à Tomsk, le 9 décembre 1883, Nikolaï Luzin poursuit ses études secondaires dans cette ville jusqu'en 1901, puis part pour Moscou étudier les mathématiques à l'université, sous la direction de D. F. Egorov. En 1906, il est à Paris où il suit les cours de la Sorbonne...

  • MESURE, mathématique

    • Écrit par André WARUSFEL
    • 1 309 mots
    ...1893, la seconde étape décisive vers la théorie moderne, lorsqu'il étend le concept peanien à celui d'étendue, couvrant déjà un champ bien plus vaste. Mais les véritables créateurs de ce qui est aujourd'hui la mesure sont ses cadets : Émile Borel, vers 1898, et surtout Henri Lebesgue en 1901....
  • RADON JOHANN (1887-1956)

    • Écrit par Jeanne PEIFFER
    • 423 mots

    Pensée abstraite et pouvoir d'adaptation fondé sur l'intuition géométrique, tel est le double talent mathématique de l'Autrichien Johann Radon, qui est aussi bien capable de créer une théorie générale ou de traiter un problème particulier.

    Né à Tetschen (Bohême), Johann...

Voir aussi