LEBESGUE HENRI (1875-1941)
L'intégrale et la mesure de Lebesgue
Les sommes de Riemann (1), valables pour les fonctions continues, ne conviennent qu'à des classes particulières de fonctions discontinues parce qu'elles font appel à la condition de continuité : f (x) varie peu dans l'intervalle (xi, xi+1). Lebesgue a l'idée de retourner la situation : « Nous voulons grouper des valeurs voisines de f (x) ? Faisons-le ! » Si la fonction f est bornée, c'est l'intervalle (m, M) des bornes qu'on doit partager en petits intervalles (yi, yi+1) et l'on groupera les valeurs de x qui assurent yi < f (x) < yi+1. Elles constituent un ensemble auquel il faudra attacher une mesure mi. Les sommes à considérer seront ainsi :
Lebesgue justifie cette définition constructive de l'intégrale, présentée ici sous une forme particulière, par son équivalence avec une définition descriptive basée sur les caractères attribués à une mesure. L'important est qu'il est fait appel à l'additivité complète.
Les chapitres de géométrie classique concernant les aires et volumes de polygones ou polyèdres ont toujours utilisé implicitement des conditions dont la plus essentielle est l'additivité : la réunion d'ensembles disjoints a pour mesure la somme de leurs mesures. Émile Borel, le premier, a formulé explicitement une définition en précisant que la propriété s'applique à une infinité dénombrable d'intervalles : c'est l'additivité complète. La définition concerne donc les classes d'ensembles, dits maintenant « boréliens ». Elle introduit la notion d'ensemble infini de mesure nulle.
Partant de cette définition descriptive, Lebesgue formule une définition constructive. Ainsi, pour un ensemble E plan inclus dans un carré C de mesure c, il considère un recouvrement par des carrés disjoints en infinité dénombrable et nomme mesure extérieure me (E) de E la borne inférieure de la somme des aires de ces carrés. Considérant de même la mesure extérieure me (F) de la différence F = C − E ensemble des points appartenant à C mais non à E, il nomme mesure intérieure de E, le nombre mi (E) = c − me (F). Dans le cas de l'égalité me (E) = mi (E), l'ensemble E est dit mesurable, de mesure m (E) = me (E) = mi (E).
Lebesgue démontre que le nombre ainsi construit satisfait aux conditions descriptives de Borel pour une classe d'ensembles qu'il qualifie de « mesurables B ».
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Écrit par
- Lucienne FÉLIX : agrégée de l'Université
Classification
Pour citer cet article
Lucienne FÉLIX. LEBESGUE HENRI (1875-1941) [en ligne]. In Encyclopædia Universalis. Disponible sur : (consulté le )
Article mis en ligne le et modifié le 14/03/2009
Autres références
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BAIRE RENÉ-LOUIS (1874-1932)
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Les travaux du mathématicien français René-Louis Baire portent principalement sur la théorie des fonctions de variables réelles. Ancien élève de l'École normale supérieure, Baire enseigna d'abord à l'université de Montpellier. En 1905, il vint faire au Collège de France ses célèbres ...
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Mathématicien russe. Né à Tomsk, le 9 décembre 1883, Nikolaï Luzin poursuit ses études secondaires dans cette ville jusqu'en 1901, puis part pour Moscou étudier les mathématiques à l'université, sous la direction de D. F. Egorov. En 1906, il est à Paris où il suit les cours de la Sorbonne...
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...1893, la seconde étape décisive vers la théorie moderne, lorsqu'il étend le concept peanien à celui d'étendue, couvrant déjà un champ bien plus vaste. Mais les véritables créateurs de ce qui est aujourd'hui la mesure sont ses cadets : Émile Borel, vers 1898, et surtout Henri Lebesgue en 1901.... -
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