LEBESGUE HENRI (1875-1941)

Carte mentale

Élargissez votre recherche dans Universalis

L'intégrale et la mesure de Lebesgue

Les sommes de Riemann (1), valables pour les fonctions continues, ne conviennent qu'à des classes particulières de fonctions discontinues parce qu'elles font appel à la condition de continuité : f (x) varie peu dans l'intervalle (xi, xi+1). Lebesgue a l'idée de retourner la situation : « Nous voulons grouper des valeurs voisines de f (x) ? Faisons-le ! » Si la fonction f est bornée, c'est l'intervalle (m, M) des bornes qu'on doit partager en petits intervalles (yi, yi+1) et l'on groupera les valeurs de x qui assurent y(x) < yi+1. Elles constituent un ensemble auquel il faudra attacher une mesure mi. Les sommes à considérer seront ainsi :

Lebesgue justifie cette définition constructive de l'intégrale, présentée ici sous une forme particulière, par son équivalence avec une définition descriptive basée sur les caractères attribués à une mesure. L'important est qu'il est fait appel à l'additivité complète.

Les chapitres de géométrie classique concernant les aires et volumes de polygones ou polyèdres ont toujours utilisé implicitement des conditions dont la plus essentielle est l'additivité : la réunion d'ensembles disjoints a pour mesure la somme de leurs mesures. Émile Borel, le premier, a formulé explicitement une définition en précisant que la propriété s'applique à une infinité dénombrable d'intervalles : c'est l'additivité complète. La définition concerne donc les classes d'ensembles, dits maintenant «  boréliens ». Elle introduit la notion d'ensemble infini de mesure nulle.

Partant de cette définition descriptive, Lebesgue formule une définition constructive. Ainsi, pour un ensemble E plan inclus dans un carré C de mesure c, il considère un recouvrement par des carrés disjoints en infinité dénombrable et nomme mesure extérieure me (E) de E la borne inférieure de la somme des aires de ces carrés. Considérant de même la mesure extérieure me (F) de la différence F = C − E ensemble des points appartenant à C mais non à E, il nomme mesure intér [...]


1  2  3  4  5
pour nos abonnés,
l’article se compose de 4 pages

Écrit par :

Classification

Autres références

«  LEBESGUE HENRI (1875-1941)  » est également traité dans :

BAIRE RENÉ-LOUIS (1874-1932)

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 332 mots

Les travaux du mathématicien français René-Louis Baire portent principalement sur la théorie des fonctions de variables réelles. Ancien élève de l'École normale supérieure, Baire enseigna d'abord à l'université de Montpellier. En 1905, il vint faire au Collège de France ses célèbres Leçons sur les fonctions discontinues , rédigées par A. Denjoy. Cette même année, il succède à C. Meray dans la chai […] Lire la suite

LUZIN NIKOLAÏ NIKOLAÏEVITCH (1883-1950)

  • Écrit par 
  • Jean LOUVEAUX
  •  • 846 mots

Mathématicien russe. Né à Tomsk, le 9 décembre 1883, Nikolaï Luzin poursuit ses études secondaires dans cette ville jusqu'en 1901, puis part pour Moscou étudier les mathématiques à l'université, sous la direction de D. F. Egorov. En 1906, il est à Paris où il suit les cours de la Sorbonne et du Collège de France. De retour à Moscou, il prépare une maîtrise (1910), et devient professeur assistant à […] Lire la suite

MESURE, mathématique

  • Écrit par 
  • André WARUSFEL
  •  • 1 324 mots

Dans le chapitre « Définition générale d'une mesure sur un ensemble »  : […] Si satisfaisante qu'elle ait été, puisque par exemple elle permettait de donner une justification correcte à la formule de Newton et Leibniz pour calculer des longueurs de courbe, dont le cercle, la définition de Peano laissait pourtant de côté un trop grand nombre de parties du plan sans mesure. C'est à Camille Jordan que l'on doit, en 1893, la seconde étape décisive vers la théorie moderne, lors […] Lire la suite

RADON JOHANN (1887-1956)

  • Écrit par 
  • Jeanne PEIFFER
  •  • 421 mots

Pensée abstraite et pouvoir d'adaptation fondé sur l'intuition géométrique, tel est le double talent mathématique de l'Autrichien Johann Radon, qui est aussi bien capable de créer une théorie générale ou de traiter un problème particulier. Né à Tetschen (Bohême), Johann Radon fit ses études à l'université de Vienne (1905-1910), puis fut nommé assistant à l'École polytechnique de Brno. Il passa la […] Lire la suite

SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES

  • Écrit par 
  • Jean-Pierre KAHANE
  •  • 5 481 mots
  •  • 1 média

Dans le chapitre « Aperçu historique »  : […] Quoique certaines sommes de séries trigonométriques aient déjà été calculées par L. Euler (cf. analyse harmonique ), on peut considérer que l'histoire des séries trigonométriques remonte à la solution, donnée par D.  Bernoulli, du problème des cordes vibrantes . Le problème est de calculer le mouvement d'une corde, de longueur l , fixée en ses extrémités, et qui est soit écartée de sa position d' […] Lire la suite

Voir aussi

Pour citer l’article

Lucienne FÉLIX, « LEBESGUE HENRI - (1875-1941) », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 24 novembre 2020. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/henri-lebesgue/