GROUPES (mathématiques)Vue d'ensemble

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Les idées de symétrie et de régularité se retrouvent dans toutes les civilisations, bien avant que ne fût conçue la notion de groupe : par exemple, presque tous les groupes discrets de déplacements du plan (il y en a dix-sept types non isomorphes) sont sous-jacents aux multiples ornements géométriques imaginés par les artistes arabes. Les Grecs, dans leur géométrie, ont été très tôt intéressés par les propriétés de régularité, et on sait que le couronnement des Éléments d'Euclide est la construction des cinq polyèdres réguliers, ce qui, en substance, revient à la détermination des groupes finis de rotations dans l'espace à trois dimensions.

Toutefois, la notion de groupe n'apparaît explicitement qu'au cours des travaux sur la résolution des équations algébriques « par radicaux », au début du xixe siècle ; développant une idée de Lagrange, Ruffini et Cauchy sont amenés à considérer les groupes de permutations des racines d'une équation algébrique qui laissent invariantes certaines fonctions de ces racines ; et c'est en approfondissant cette idée que Galois obtiendra ses résultats décisifs sur la résolution par radicaux. Ces premiers groupes sont donc des groupes finis, et c'est sous la forme de la théorie des groupes de permutations que la théorie générale des groupes finis commencera à se développer (notamment chez Mathieu et Jordan) jusque vers 1870. Les débuts de la cristallographie mathématique (vers 1830) font apparaître d'autres groupes finis, cette fois formés de rotations et de symétries laissant un point fixe ; enfin, Jordan, en 1868, aborde franchement l'étude des groupes de déplacements (finis ou non) dans l'espace euclidien à trois dimensions. Un peu plus tard, Klein et Poincaré feront des groupes de déplacements non euclidiens le fondement de leur théorie des fonctions automorphes, tandis que Lie, cherchant à réaliser pour les équations différentielles ce que Galois avait fait pour les équations algébriques, crée la théorie générale des groupes continus de transformations (actuellement appelés groupes de Lie). [...]


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Pour citer l’article

Jean DIEUDONNÉ, « GROUPES (mathématiques) - Vue d'ensemble », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 13 octobre 2020. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/groupes-mathematiques-vue-d-ensemble/