PROJECTIFS ESPACE & REPÈRE

Carte mentale

Élargissez votre recherche dans Universalis

Espace projectif. Étant donné un espace vectoriel E sur un corps commutatif K, on considère dans E′ = E — {0} la relation G entre deux éléments x et y définie par :

La relation G est une relation d'équivalence et l'ensemble quotient E′/G est appelé espace projectif déduit de E et est noté P(E). L'ensemble E est appelé espace vectoriel sous-jacent de P(E). Une classe d'équivalence, élément de P(E), est appelée point projectif ; on désigne par π l'application canonique qui à un élément de E′ associe sa classe dans P(E). Lorsque E = Kn+1, l'espace projectif déduit se note Pn(K). Si E est de dimension n + 1, la dimension de P(E) est, par définition, n. Il faut toutefois remarquer que P(E) n'est pas un espace vectoriel.

L'espace projectif réel ou complexe Pn(R) ou Pn(C) est une variété compacte non orientable. L'espace affine réel ou complexe de dimension n se plonge de manière naturelle dans cet espace projectif ; ce plongement correspond géométriquement à l'adjonction de « points à l'infini », réels ou imaginaires, à cet espace affine.

Variété linéaire projective. Soit F un sous-espace vectoriel de E, l'image par π de F′ = F — {0} est, par définition, une variété linéaire projective de P(E). On peut aisément montrer que l'intersection d'une famille quelconque de variétés linéaires projectives est une variété linéaire projective et que l'espace vectoriel sous-jacent de cette intersection est l'intersection des espaces vectoriels sous-jacents des variétés de la famille. Une variété projective déduite d'un hyperplan de E s'appelle un hyperplan projectif, et sa dimension (lorsque dim (E) = n + 1) est égale à n — 1 ; un espace projectif de dimension 1 (resp. 2) est appelé droite projective (resp. plan projectif). Soit X un sous-ensemble de P(E) ; on appelle variété linéaire engendrée par X l'intersection de toutes les variétés linéaires contenant X. Soit k + 1 points de P(E) ; on dit qu'ils forment une partie projectivement libre si la dimension de la variété engendrée par eux est égale à k ; ils sont projectivement liés si la dimension de la variété est inférieure à k. On p [...]

1 2 3 4 5

pour nos abonnés,
l’article se compose de 2 pages




Écrit par :

Classification


Autres références

«  PROJECTIFS ESPACE & REPÈRE  » est également traité dans :

COMBINATOIRE ANALYSE

  • Écrit par 
  • Dominique FOATA
  •  • 5 830 mots
  •  • 2 médias

Dans le chapitre « Existence et construction de modèles »  : […] Un certain nombre de modèles ont été tout particulièrement étudiés, c'est le cas des carrés latins , sans doute parce qu'un mathématicien célèbre comme Euler fit à leur sujet une conjecture malheureuse et qu'il fallut attendre 177 ans pour prouver son inexactitude. En introduisant des notions comme celle d'orthogonalité, on a pu établir des liens étroits entre les carrés lat […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/analyse-combinatoire/#i_28393

GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE

  • Écrit par 
  • Christian HOUZEL
  •  • 13 071 mots
  •  • 7 médias

Dans le chapitre « Faisceau structural »  : […] La connaissance de la topologie et des anneaux locaux sur un ensemble algébrique est insuffisante pour caractériser cet ensemble à isomorphisme près ; en particulier, elle ne permet pas de reconstituer l'algèbre des fonctions régulières sur l'ensemble. Nous allons remplacer les anneaux locaux par une structure plus riche. Considérons un ouvert de Zariski U dans un ensemble algébrique X. Nous diron […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/geometrie-algebrique/#i_28393

GROUPES (mathématiques) - Groupes classiques et géométrie

  • Écrit par 
  • Jean DIEUDONNÉ
  •  • 8 863 mots
  •  • 3 médias

Dans le chapitre « Propriétés de transitivité et de conjugaison »  : […] Le groupe SL (E), et a fortiori GL (E), opère de façon doublement transitive sur les droites de E ; si (D 1 , D 2 ) et (D′ 1 , D′ 2 ) sont deux couples de droites distinctes, il existe au moins une transformation ∈  SL (E) telle que u (D 1 ) = D′ 1 , u (D 2 ) = D′ 2  ; si = 2, GL (E) […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/groupes-mathematiques-groupes-classiques-et-geometrie/#i_28393

PROJECTIVES APPLICATIONS

  • Écrit par 
  • Jacques MEYER
  •  • 383 mots

Soit E et F deux espaces vectoriels sur un même corps commutatif K, P (E) et P (F) les espaces projectifs déduits de E et de F, f une application linéaire de E dans F et N = ker ( f ) le noyau de f . Comme l'image par f d'une droite de E non contenue dans N est une droite de F, la restriction de […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/applications-projectives/#i_28393

TOPOLOGIE - Topologie générale

  • Écrit par 
  • Claude MORLET
  •  • 4 363 mots
  •  • 3 médias

Dans le chapitre « Recollements de topologies »  : […] Soit (U i ), i  ∈ I, une famille d'espaces topologiques, et, pour tout i , une injection ϕ i de U i dans un ensemble E. On suppose vérifiées les trois conditions suivantes : a ) E est la réunion des images des ϕ i  ; b ) P […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/topologie-topologie-generale/#i_28393

VARIÉTÉS DIFFÉRENTIABLES

  • Écrit par 
  • Claude MORLET
  •  • 10 344 mots
  •  • 7 médias

Dans le chapitre « Les espaces projectifs »  : […] Dans l'article topologie - Topologie générale, à la fin du chapitre 1, on trouvera la définition de l' espace projectif réel P n ( R ) de dimension n dont les points sont les droites de R n +1 qui passent par l'origine. Pour définir la topologie, on assoc […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/varietes-differentiables/#i_28393

Pour citer l’article

Jacques MEYER, « PROJECTIFS ESPACE & REPÈRE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 16 juin 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/espace-et-repere-projectifs/