SHIMURA-TANIYAMA-WEIL CONJECTURE DE

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La conjecture

Énoncé

Il existe plusieurs formulations équivalentes de la conjecture de Shimura-Taniyama-Weil, insistant soit sur l'aspect géométrique, soit sur l'aspect analytique. Nous privilégions ici une formulation explicite plutôt analytique, pouvant par exemple se tester sur ordinateur.

Soit E une courbe elliptique définie sur ℚ. Rappelons que l'on a associé à E un entier NE, son conducteur, et une fonction LE de la variable complexe s telle que

, sa fonction de Hasse-Weil. Théorème (ex-conjecture de Shimura-Taniyama-Weil). Soit E une courbe elliptique définie sur ℚ. Alors la fonction fE de H dans ℂ définie par
est une forme modulaire parabolique normalisée de poids 2 et niveau NE.

Une courbe E étant donnée, un ordinateur peut calculer facilement NE et les premiers coefficients an de LE(s) à partir de l'équation de E. Comme S(2, NE) est de dimension finie, l'ordinateur peut alors aisément vérifier que la fonction fE est bien dans S(2, NE). Bien entendu, cela ne constitue aucunement une preuve puisqu'il y a une infinité de courbes elliptiques !

Exemple. La courbe elliptique d'équation Y2 – X3 + 33.24X – 33.24.19 = 0 (minimale en dehors de 2 et 3) donne la forme modulaire η(z)2η(11z)2 de l'exemple 2 ci-dessus.

Il faut comprendre que ce théorème est véritablement « miraculeux », car il n'y a a priori aucune raison pour que la fonction fE vérifie les conditions (7) et (8) avec N = NE. C'est même étrange, car il est très facile de se donner une courbe elliptique sur ℚ [il suffit de considérer une équation (2)], et donc très facile d'obtenir la fonction fE (au moins si l'on ne cherche pas à la calculer explicitement), alors qu'il n'est pas facile de se donner une forme modulaire dans S(2, NE).

Ce théorème a d'abord été démontré par Andrew Wiles (aidé de son ancien élève et compatriote Richard Taylor) en 1994 pour les courbes elliptiques E telles que NE n'a pas de facteur carré (on dit que la courbe est semi-stable) ; cf. Wiles [1995] et Taylor et Wiles [1995]. Il a introduit à cet effet les principales idées nouvelles de démonstration qui ont été reprises et amplifiées par ses successeurs. Fred Diamond a peu après étendu le résultat aux courbes elliptiques telles que ni 9 ni 25 ne divisent NE [1996], puis Brian Conrad, Diamond et Taylor en 1997 aux courbes telles que 27 ne divise pas NE [1999]. Enfin, en 1999, Christophe Breuil, Conrad, Diamond et Taylor ont démontré le cas général [2001]. D'article en article, les démonstrations requièrent une technique mathématique de plus en plus pointue.

Mentionnons deux corollaires de ce théorème. Le premier, très médiatique, et qui découle déjà de la modularité des courbes elliptiques semi-stables démontrée par Wiles, est le grand théorème de Fermat (an + bn + cn = 0 n'a pas de solution dans ℤ telle que abc ≠ 0 si n > 2). Le principe est de construire à partir d'une solution (pour n = p premier et p > 3) une courbe elliptique dont on montre en utilisant des résultats du mathématicien français Jean-Pierre Serre et du mathématicien américain Kenneth Ribet qu'elle ne peut être modulaire. Pour plus de détails sur ce sujet, nous renvoyons le lecteur à l'article de Catherine Goldstein [1999].

Le second corollaire est le fait, très important, que la fonction de Hasse-Weil LE peut se prolonger analytiquement sur ℂ et satisfait même une équation fonctionnelle reliant LE(2 – s) et LE(s). Cette conséquence est fondamentale, car elle montre que LE est bien définie au voisinage de s = 1 (notons que 1 ≤ 3/2 ; cf. ci-dessus, 1 Courbes elliptiques. Fonctions L) et permet d'énoncer une autre conjecture mythique sur les courbes elliptiques qui est la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer (du nom des mathématiciens anglais Brian Birch et Peter Swinnerton-Dyer) prédisant, sous sa forme faible, que LE a en s = 1 un zéro d'ordre exactement r, où r est le rang de E(ℚ).

Bref historique

C'est en septembre 1955, lors d'une conférence à Tōkyō et Nikkō, que le mathématicien japonais Yutaka Taniyama (1927-1958) a émis l'hypothèse que toute fonction de Hasse-Weil LE pouvait donner naissance à une forme automorphe (objet mathématique généralisant les formes modulaires), sans prédire toutefois si la forme automorphe était ou non simplement une forme modulaire. La suggestion de Taniyama fut précisée et acquit le statut de conjecture dans les années 1960 avec les travaux du mathématicien japonais Goro Shimura et ceux d'André Weil. En particulier, Weil identifia le niveau [...]

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Pour citer l’article

Christophe BREUIL, « SHIMURA-TANIYAMA-WEIL CONJECTURE DE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 22 juin 2022. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/conjecture-de-shimura-taniyama-weil/