AUTOMATIQUE

Il existe de nombreuses approches pour identifier un système, dont l'une des plus pertinentes est l'identification paramétrique. C'est à celle-ci que nous limiterons le bref exposé qui suit. Les systèmes considérés sont linéaires stationnaires à temps discret. Ils sont supposés être des filtres causaux et stables, représentés par leur « fonction de transfert » F(q^—1) [où q^—1 est l'opérateur de retard], qui est à interpréter ici comme l'opérateur de convolution associé. Considérons le modèle M défini par

y(t) = G(q^—1, θ) u(t) + H(q^—1, θ) w(t) (23)

où le vecteur de paramètres θ est une variable aléatoire à valeurs dans ℝ^N et w est un bruit blanc à temps discret (c'est-à-dire une suite de variables aléatoires réelles, indépendantes et centrées, de variance E[w(t)²] = σ² : cf. calcul des probabilités) ; on suppose que le filtre G(q^—1, θ) est strictement causal, que H(q^—1, θ) est bicausal, bistable et vérifiant H(0, θ) = 1 (ceci sans perte de généralité grâce au « théorème de factorisation spectrale causale directe et inverse ») et que w(t) est indépendant de θ et des entrées u(ô) [cette dernière hypothèse excluant le cas où l'on identifie un système en boucle fermée] ; G et H sont des fractions rationnelles. Soit le système à identifier Σ ayant pour équation

y(t) = Ĝ(q^—1) u(t) + Ĥ(q^—1) w(t), où Ĥ(0) = 1.

Ce système est dit identifiable à l'aide du modèle M s'il existe une valeur unique ^vθ de θ telle que G(q^—1, ^vθ) = Ĝ(q^—1) et H(q^—1, ^vθ) = Ĥ(q^—1).

Soit F_t—1 la tribu engendrée par les variables aléatoires y(t — i), u(t — i), i = 1, et soit la prédiction optimale ŷ(t | t — 1) = E [y(t) | F_t—1, θ]. Intuitivement, il s'agit de la meilleure prédiction que l'on puisse faire à l'instant t de y(t) sur la base du modèle M, connaissant uniquement les entrées et les sorties passées, et sous l'hypothèse que le paramètre a pour valeur θ. On montre que

. (24)

Dans le cas général, cette minimisation peut être réalisée grâce à une méthode de descente (par exemple la méthode de Levenberg-Marquardt). Toutefois, si G = B/A et H = [...]