AUTOMATIQUE

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5 Identification

Il existe de nombreuses approches pour identifier un système, dont l'une des plus pertinentes est l'identification paramétrique. C'est à celle-ci que nous limiterons le bref exposé qui suit. Les systèmes considérés sont linéaires stationnaires à temps discret. Ils sont supposés être des filtres causaux et stables, représentés par leur « fonction de transfert » F(q—1) [où q—1 est l'opérateur de retard], qui est à interpréter ici comme l'opérateur de convolution associé. Considérons le modèle M défini par

y(t) = G(q—1θu(t) + H(q—1θw(t) (23)

où le vecteur de paramètres θ est une variable aléatoire à valeurs dans ℝN et w est un bruit blanc à temps discret (c'est-à-dire une suite de variables aléatoires réelles, indépendantes et centrées, de variance E[w(t)2] = σ2 : cf. calcul des probabilités) ; on suppose que le filtre G(q—1θ) est strictement causal, que H(q—1θ) est bicausal, bistable et vérifiant H(0, θ) = 1 (ceci sans perte de généralité grâce au « théorème de factorisation spectrale causale directe et inverse ») et que w(t) est indépendant de θ et des entrées u(ô) [cette dernière hypothèse excluant le cas où l'on identifie un système en boucle fermée] ; G et H sont des fractions rationnelles. Soit le système à identifier Σ ayant pour équation

y(t) = Ĝ(q—1u(t) + Ĥ(q—1w(t), où Ĥ(0) = 1.

Ce système est dit identifiable à l'aide du modèle M s'il existe une valeur unique vθ de θ telle que G(q—1vθ) = Ĝ(q—1) et H(q—1vθ) = Ĥ(q—1).

Soit Ft—1 la tribu engendrée par les variables aléatoires y(t — i), u(t — i), i = 1, et soit la prédiction optimale ŷ(t | t — 1) = E [y(t) | Ft—1θ]. Intuitivement, il s'agit de la meilleure prédiction que l'on puisse faire à l'instant t de y(t) sur la base du modèle M, connaissant uniquement les entrées et les sorties passées, et sous l'hypothèse que le paramètre a pour valeur θ. On montre que

. (24)

La méthode d'identification consiste à minimiser.

Dans le cas général, cette minimisation peut être réalisée grâce à une méthode de descente (par exemple la méthode de Levenberg-Marquardt). Toutefois, si G = B/A et H = 1/A, où A = A(q—1θ) et B = B(q—1θ) sont des polynômes en q—1 dont les coefficients sont les composantes de θ, l'expression (24) devient ŷ(t | t — 1) = (1 — A(q—1θ)) y(t) + B(q—1θu(t), (25)

dont le second membre est linéaire par rapport à θ, de la forme tΦ(t — 1)θ ; l'expression (25) est appelée une régression linéaire et le modèle M défini par (23) est dit de type « ARX ». Dans ce cas, la minimisation de Jt(θ) est le « problème des moindres carrés » dont la solution est le résultat d'un calcul explicite qui peut être mis sous forme récursive.

Soit eθ (t) la valeur de θ pour laquelle le critère Jt(θ) est minimum (en supposant que cette valeur existe et soit unique). Supposons le système Σ identifiable à l'aide du modèle M et soit vθ la « vraie valeur » du paramètre. L'estimateur eθ(t) est dit consistant si

presque sûrement. On montre que si σ > 0 et si u est un signal à excitation persistante, c'est-à-dire ayant une densité spectrale ϕuu (cf. théorie du signal) vérifiant ϕuu(ω) > 0 pour tout ω appartenant à [— ππ], alors l'existence et l'unicité de eθ(t) est assurée, ainsi que la consistance de cet estimateur.

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  • : professeur des Universités
  • : professeur titulaire de chaire (Chaire d'automatisme industriel, Conservatoire national des arts et métiers)

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Pour citer l’article

Hisham ABOU-KANDIL, Henri BOURLÈS, « AUTOMATIQUE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 18 juin 2022. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/automatique/