AUTOMATIQUE

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3 Théorie des systèmes

Systèmes et modules

Tous les systèmes considérés dans ce qui suit sont linéaires et à coefficients constants. L'opérateur qui est à la base de la théorie des systèmes à temps continu est la dérivation ∂ (voir ci-dessus), tandis que pour les systèmes à temps discret il s'agit de « l'opérateur d'avance » q : ξ(t) → ξ(t + 1). Posons∇ = (∂ ou q) et R = ℝ[∇]. Un système (qu'il soit à temps continu ou à temps discret) est décrit par une équation de la forme

E(∇)w = 0, (5)

E(∇) ∈ Rr×k, ce qui généralise la formulation précédente. Il n'y a pas une manière unique de décrire un même système ; il n'y a pas même unicité du nombre de variables et du nombre d'équations dans les différentes descriptions possibles. Par exemple, (6) et (7) ci-dessous

(∇2 + a1∇ + a2)y = (b1∇ + b2)u (6)

(7)

x = t[x1  x2] est la matrice transposée de [x1  x2], sont deux représentations du même système. Elles ont en commun de définir des R-modules identiques à un isomorphisme près (cf. algèbre linéaire et multilinéaire) : le premier, M1, est engendré par les variables y et u vérifiant (6) ; le second, M2, est engendré par les variables x1, x2 et u vérifiant la première égalité de (7) [d'après la seconde, y appartient à M2]. Un système linéaire s'identifie dès lors (ou est « naturellement associé ») à un R-module M de type fini (c'est-à-dire engendré par un nombre fini d'éléments). Considérons par exemple l'expression (6) de M et soit ȳ l'image canonique de y dans le module quotient M/[u], où [u] désigne le R-module engendré par u. On a (∇2 + a1W + a2ȳ = 0, et M/[u] = [ȳ] est donc un « module de torsion », car chacun de ses éléments est un « élément de torsion » [c'est-à-dire vérifie une équation différentielle ou aux différences autonome p(∇) = 0, 0 ? p(∇) ∈ R, avec dans le cas présent p(∇) = ∇2 + a1∇ + a2]. Cette propriété permet de définir u comme étant l'entrée du système considéré ; dans le cas où u a plusieurs composantes u1, ..., um, le module [u] engendré par ces variables est de plus supposé libre de rang m. La sortie du système est y ; dans le cas général, y peu [...]

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Écrit par :

  • : professeur des Universités
  • : professeur titulaire de chaire (Chaire d'automatisme industriel, Conservatoire national des arts et métiers)

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Pour citer l’article

Hisham ABOU-KANDIL, Henri BOURLÈS, « AUTOMATIQUE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 12 août 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/automatique/