AUTOMATIQUE

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3 Théorie des systèmes

Systèmes et modules

Tous les systèmes considérés dans ce qui suit sont linéaires et à coefficients constants. L'opérateur qui est à la base de la théorie des systèmes à temps continu est la dérivation ∂ (voir ci-dessus), tandis que pour les systèmes à temps discret il s'agit de « l'opérateur d'avance » q : ξ(t) → ξ(t + 1). Posons∇ = (∂ ou q) et R = ℝ[∇]. Un système (qu'il soit à temps continu ou à temps discret) est décrit par une équation de la forme

E(∇)w = 0, (5)

E(∇) ∈ Rr×k, ce qui généralise la formulation précédente. Il n'y a pas une manière unique de décrire un même système ; il n'y a pas même unicité du nombre de variables et du nombre d'équations dans les différentes descriptions possibles. Par exemple, (6) et (7) ci-dessous

(∇2 + a1∇ + a2)y = (b1∇ + b2)u (6)

(7)

x = t[x1  x2] est la matrice transposée de [x1  x2], sont deux représentations du même système. Elles ont en commun de définir des R-modules identiques à un isomorphisme près (cf. algèbre linéaire et multilinéaire) : le premier, M1, est engendré par les variables y et u vérifiant (6) ; le second, M2, est engendré par les variables x1, x2 et u vérifiant la première égalité de (7) [d'après la seconde, y appartient à M2]. Un système linéaire s'identifie dès lors (ou est « naturellement associé ») à un R-module M de type fini (c'est-à-dire engendré par un nombre fini d'éléments). Considérons par exemple l'expression (6) de M et soit ȳ l'image canonique de y dans le module quotient M/[u], où [u] désigne le R-module engendré par u. On a (∇2 + a1W + a2ȳ = 0, et M/[u] = [ȳ] est donc un « module de torsion », car chacun de ses éléments est un « élément de torsion » [c'est-à-dire vérifie une équation différentielle ou aux différences autonome p(∇) = 0, 0 ? p(∇) ∈ R, avec dans le cas présent p(∇) = ∇2 + a1∇ + a2]. Cette propriété permet de définir u comme étant l'entrée du système considéré ; dans le cas où u a plusieurs composantes u1, ..., um, le module [u] engendré par ces variables est de plus supposé libre de rang m. La sortie du système est y ; dans le cas général, y peut avoir p composantes y1, ..., yp qui sont des éléments de M.

Représentation d'état

On peut montrer que tout système linéaire et stationnaire admet une représentation dite « d'état », de la forme

(9)

A ∈ ℝn×n, B ∈ ℝn×m, C ∈ ℝp×n et D(∇) ∈ Rp×m sont appelées respectivement les matrices d'état, d'entrée, de sortie et de « terme direct » et où le vecteur x (ayant n composantes xi) est appelé l'état du système. En revanche, seule une classe bien particulière de systèmes non linéaires admet une représentation d'état, dont la forme est une généralisation de (9). L'équation d'état, à savoir la première équation de (9), est une équation différentielle ou aux différences vectorielle linéaire du premier ordre, ce qui présente des avantages de simplicité ; la seconde équation de (9), appelée l'équation de sortie, montre que la sortie y s'exprime linéairement et uniquement en fonction de l'état (et éventuellement de la commande u) et d'un nombre fini de termes ∇iu, i = 1 ; de sorte que l'état est un résumé du passé du système dans le sens où le second n'influe sur la sortie qu'au travers du premier. Ce système est dit propre si D(∇) ∈ ℝp×m et strictement propre si D = 0. Les systèmes impropres ne sont pas réalisables en pratique (notamment, un système à temps discret impropre est non causal, puisque sa sortie à un instant donné dépend des valeurs futures de l'entrée).

Commandabilité et platitude

Un système Σ est dit commandable si le R-module associé M est libre, c'est-à-dire admet une base ξ = (ξi)1≤im, alors appelée une sortie plate de Σ.

Il est fréquent qu'un système commandable ait une sortie plate dont la signification physique soit claire. Considérons par exemple le pendule inversé linéarisé (4). L'abscisse y1 = y +  de la masse m est une sortie plate. En effet, de la seconde égalité de (4) on tire θ = ÿ1/g, par conséquent y = y1 — ÿ1l/g, et d'après la première égalité de (4) on obtient

f = ÿ1(M + m) — y1(4)Ml/g. (10)

La variable y1 est une base de M car : (i) elle est R-linéairement indépendante (ce qui est trivial dans le cas présent puisqu'elle n'a qu'une composante qui n'est pas un élément de torsion), (ii) tous les éléments de M sont des combinaisons R-linéaires de y1. Du point de vue physique, y1 est la grandeur qui donne le plus d'information sur le système (un jongleur qui voudrait faire tenir le pendule inversé en équilibre par de petits déplacements du ch [...]

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Écrit par :

  • : professeur des Universités
  • : professeur titulaire de chaire (Chaire d'automatisme industriel, Conservatoire national des arts et métiers)

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Pour citer l’article

Hisham ABOU-KANDIL, Henri BOURLÈS, « AUTOMATIQUE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 20 juin 2022. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/automatique/