Abonnez-vous à Universalis pour 1 euro

AUTOMATIQUE

Asservissements

Analyse d'un système bouclé

Un système bouclé, sous sa forme la plus classique, est représenté sur la figure 3, où P est le système à asservir et où K est le régulateur, dit à « un élément ». Ces deux systèmes sont supposés à temps continu, monovariables et minimaux, donc représentables par leurs fonctions de transfert respectives P(s) et K(s). Les signaux du et dy sont des perturbations affectant respectivement l'entrée u et la sortie y du système P, tandis que b et r sont le bruit de mesure et le signal de référence.

Ce système bouclé Σ est dit stable si le système minimal ayant pour entrée

et pour sortie
est stable (le signal de référence r peut être remplacé par dy ou b dans cette définition). Soit B(s)/A(s) et R(s)/S(s) des représentations irréductibles des fractions rationnelles P(s) et K(s), la seconde étant supposée propre, la première strictement propre, et les polynômes A(s) et S(s) étant unitaires. On montre que Σ est stable si, et seulement si le polynôme Abf = AS + BR a toutes ses racines situées dans le demi-plan gauche ouvert ; ces racines sont appelées les pôles de Σ.

Une méthode graphique commode pour l'analyse de la stabilité en boucle fermée est le critère de Nyquist. Soit L la fonction, appelée « fonction de transfert de la boucle ouverte », définie par L(s) = P(s)K(s) ; nous supposerons pour simplifier la présentation que P(s) et K(s) n'ont pas de pôles sur l'axe imaginaire. Le lieu de Nyquist de L(s) est, dans le plan complexe, le chemin ω → L(), où ω varie de — ∞ à + ∞. Soit nP et nK les nombres de pôles de P(s) et de K(s) situés dans le demi-plan droit, et N le nombre de tours effectués par le lieu de Nyquist de L(s) autour du point — 1 (appelé « point critique ») dans le sens direct, en supposant que ce lieu ne passe pas par le point critique. D'après le critère de Nyquist, Σ est stable si, et seulement si N = nP + nK.

De plus, compte tenu des erreurs de modèle, inévitablement présentes, il importe que la distance du lieu de Nyquist au point — 1 ne soit pas trop petite. Cette distance est appelée la « marge de module » et notée Mm. Soit Si la fonction, appelée « fonction de sensibilité », définie par Si(s) = 1/[1 + L(s)]. Elle appartient (si Σ est stable) à l'ensemble RH des fonctions de transfert propres ayant tous leurs pôles dans le demi-plan gauche ouvert. Cet ensemble RH est muni d'une structure de ℝ-algèbre normée (cf. algèbres normées), la norme ∥f d'un élément f appartenant à RH (appelée « norme H ») étant définie par

.

Dans le cas où f appartient à RHp×m, la définition de ∥f s'obtient à partir de l'expression ci-dessus en remplaçant |f(s)| par σ (f(s)). La marge de module est donnée par

(13)

On peut considérer que la marge de module est correcte si elle est au moins égale à 0,5. On définit également à partir du lieu de Nyquist (ou du diagramme de Bode) de L(s) la marge de gain Mg et la marge de phase Mp ; Mg (resp. Mp) est la réunion de tous les intervalles ouverts I de ℝ tels que 1 ∈ I (resp. 0 ∈ I) et, pour tout g ∈ I (resp. pour tout ϕ ∈ I), 1 + gL(s) [resp. 1 + e—iϕL(s)] a tous ses zéros dans le demi-plan gauche (autrement dit, ce sont, respectivement, les gains et les déphasages qui, s'introduisant à un endroit de la boucle, ne provoquent pas d'instabilité). Les bornes des marges de gain et de phase sont souvent exprimées, respectivement, en décibels et en degrés. On peut donner des minorants de ces marges à partir de la marge de module :

Mg ⊃ ]1/(1 + Mm), 1/(1 — Mm)[, Mp ⊃ ]— 2 arc sin (Mm/2), 2 arc sin (Mm/2)[ (14)

Supposons maintenant que le système à commander réelrP soit linéaire, stationnaire et minimal,[...]

La suite de cet article est accessible aux abonnés

  • Des contenus variés, complets et fiables
  • Accessible sur tous les écrans
  • Pas de publicité

Découvrez nos offres

Déjà abonné ? Se connecter

Écrit par

  • : professeur des Universités
  • : professeur titulaire de chaire (Chaire d'automatisme industriel, Conservatoire national des arts et métiers)

Classification

Pour citer cet article

Hisham ABOU-KANDIL et Henri BOURLÈS. AUTOMATIQUE [en ligne]. In Encyclopædia Universalis. Disponible sur : (consulté le )

Autres références

  • APPRENTISSAGE PROFOND ou DEEP LEARNING

    • Écrit par Jean-Gabriel GANASCIA
    • 2 645 mots
    • 1 média

    Apprentissage profond, deeplearning en anglais, ou encore « rétropropagation de gradient »… ces termes, quasi synonymes, désignent des techniques d’apprentissage machine (machine learning), une sous-branche de l’intelligence artificielle qui vise à construire automatiquement des connaissances...

  • AUTOMATISATION

    • Écrit par Jean VAN DEN BROEK D'OBRENAN
    • 11 882 mots
    • 12 médias

    Célébrer les bienfaits ou dénoncer les méfaits de l'automatisation sous ses formes les plus diverses est l'une des occupations favorites du monde des médias. Aussi « l'homme de la rue » ne manque-t-il pas de sources d'information ; mais lui est-il facile d'opérer la synthèse des connaissances qu'il a...

  • AUTO-ORGANISATION

    • Écrit par Henri ATLAN
    • 6 255 mots
    • 1 média
    On observe, dans des réseaux d'automates en partie aléatoires, des propriétés de classification et de reconnaissance de formes sur la base de critères auto-engendrés, non programmés. Il s'agit là de simulations d'auto-organisation fonctionnelle où ce qui émerge est non seulement une structure macroscopique...
  • BIG DATA

    • Écrit par François PÊCHEUX
    • 6 148 mots
    • 3 médias

    L’expression « big data », d’origine américaine et apparue en 1997, désigne un volume très important de données numériques ainsi que les techniques et outils informatiques permettant de les manipuler efficacement afin de leur donner du sens. Traduite en français par « mégadonnées » ou encore « données...

  • Afficher les 13 références

Voir aussi