AUTOMATIQUE

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Asservissements

Analyse d'un système bouclé

Un système bouclé, sous sa forme la plus classique, est représenté sur la figure 3, où P est le système à asservir et où K est le régulateur, dit à « un élément ». Ces deux systèmes sont supposés à temps continu, monovariables et minimaux, donc représentables par leurs fonctions de transfert respectives P(s) et K(s). Les signaux du et dy sont des perturbations affectant respectivement l'entrée u et la sortie y du système P, tandis que b et r sont le bruit de mesure et le signal de référence.

Ce système bouclé Σ est dit stable si le système minimal ayant pour entrée

et pour sortie
est stable (le signal de référence r peut être remplacé par dy ou b dans cette définition). Soit B(s)/A(s) et R(s)/S(s) des représentations irréductibles des fractions rationnelles P(s) et K(s), la seconde étant supposée propre, la première strictement propre, et les polynômes A(s) et S(s) étant unitaires. On montre que Σ est stable si, et seulement si le polynôme Abf = AS + BR a toutes ses racines situées dans le demi-plan gauche ouvert ; ces racines sont appelées les pôles de Σ.

Une méthode graphique commode pour l'analyse de la stabilité en boucle fermée est le critère de Nyquist. Soit L la fonction, appelée « fonction de transfert de la boucle ouverte », définie par L(s) = P(s)K(s) ; nous supposerons pour simplifier la présentation que P(s) et K(s) n'ont pas de pôles sur l'axe imaginaire. Le lieu de Nyquist de L(s) est, dans le plan complexe, le chemin ω → L(), où ω varie de — ∞ à + ∞. Soit nP et nK les nombres de pôles de P(s) et de K(s) situés dans le demi-plan droit, et N le nombre de tours effectués par le lieu de Nyquist de L(s) autour du point — 1 (appelé « point critique ») dans le sens direct, en supposant que ce lieu ne passe pas par le point critique. D'après le critère de Nyquist, Σ est stable si, et seulement si N = nP + nK.

De plus, compte tenu des erreurs de modèle, inévitablement présentes, il importe que la distance du lieu de Nyquist au point — 1 ne soit pas trop petite. Cette distance est appelée la « marge de module » et notée Mm. Soit Si la fonction, appelée « fonction de sensibilité », définie par Si(s) = 1/[1 + L(s)]. Elle appartient (si Σ est stable) à l'ensemble RH des fonctions de transfert propres ayant tous leurs pôles dans le demi-plan gauche ouvert. Cet ensemble RH est muni d'une structure de ℝ-algèbre normée (cf. algèbres normées), la norme ∥f d'un élément f appartenant à RH (appelée « norme H ») étant définie par

.

Dans le cas où f appartient à RHp×m, la définition de ∥f s'obtient à partir de l'expression ci-dessus en remplaçant |f(s)| par σ (f(s)). La marge de module est donnée par

(13)

On peut considérer que la marge de module est correcte si elle est au moins égale à 0,5. On définit également à partir du lieu de Nyquist (ou du diagramme de Bode) de L(s) la marge de gain Mg et la marge de phase Mp ; Mg (resp. Mp) est la réunion de tous les intervalles ouverts I de ℝ tels que 1 ∈ I (resp. 0 ∈ I) et, pour tout g ∈ I (resp. pour tout ϕ ∈ I), 1 + gL(s) [resp. 1 + e—iϕL(s)] a tous ses zéros dans le demi-plan gauche (autrement dit, ce sont, respectivement, les gains et les déphasages qui, s'introduisant à un endroit de la boucle, ne provoquent pas d'instabilité). Les bornes des marges de gain et de phase sont souvent exprimées, respectivement, en décibels et en degrés. On peut donner des minorants de ces marges à partir de la marge de module :

Mg ⊃ ]1/(1 + Mm), 1/(1 — Mm)[, Mp ⊃ ]— 2 arc sin (Mm/2), 2 arc sin (Mm/2)[ (14)

Supposons maintenant que le système à commander réel rP soit linéaire, stationnaire et minimal, ayant pour fonction de transfert rP(s), et que cette dernière soit liée à la fonction de transfert P(s) du modèle dont on dispose par la relation rP(s) = P(s)(1 + E(s)), où « l'erreur multiplicative » E(s), qui représente les dynamiques négligées, est telle que : (i) rP(s) est strictement propre, n'a pas de pôles sur l'axe imaginaire et a nP pôles dans le demi-plan droit, (ii) il existe une fonction de transfert W1(s) ∈ RH telle que |E()W1()| < 1 pour tout ω ≥ 0. En supposant que K stabilise P, on montre que K stabilise rP pour toutes les erreurs multiplicatives vérifiant les propriétés (i) et (ii) ci-dessus si, et seulement si

W1(1 — Si)∥ ≤ 1 (15)

Généralement, l'erreur multiplicative est importante essentiellement dans les hautes fréquences (cf. supra), donc |W1()| a de petites valeurs pour ω petit (basses fréquences) et de grandes valeurs po [...]

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  • : professeur des Universités
  • : professeur titulaire de chaire (Chaire d'automatisme industriel, Conservatoire national des arts et métiers)

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Pour citer l’article

Hisham ABOU-KANDIL, Henri BOURLÈS, « AUTOMATIQUE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 18 juin 2022. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/automatique/