AUTOMATIQUE

Analyse d'un système bouclé

Un système bouclé, sous sa forme la plus classique, est représenté sur la figure 3, où P est le système à asservir et où K est le régulateur, dit à « un élément ». Ces deux systèmes sont supposés à temps continu, monovariables et minimaux, donc représentables par leurs fonctions de transfert respectives P(s) et K(s). Les signaux d_u et d_y sont des perturbations affectant respectivement l'entrée u et la sortie y du système P, tandis que b et r sont le bruit de mesure et le signal de référence.

Ce système bouclé Σ est dit stable si le système minimal ayant pour entrée

et pour sortie est stable (le signal de référence r peut être remplacé par d_y ou b dans cette définition). Soit B(s)/A(s) et R(s)/S(s) des représentations irréductibles des fractions rationnelles P(s) et K(s), la seconde étant supposée propre, la première strictement propre, et les polynômes A(s) et S(s) étant unitaires. On montre que Σ est stable si, et seulement si le polynôme A_bf = AS + BR a toutes ses racines situées dans le demi-plan gauche ouvert ; ces racines sont appelées les pôles de Σ.

Une méthode graphique commode pour l'analyse de la stabilité en boucle fermée est le critère de Nyquist. Soit L la fonction, appelée « fonction de transfert de la boucle ouverte », définie par L(s) = P(s)K(s) ; nous supposerons pour simplifier la présentation que P(s) et K(s) n'ont pas de pôles sur l'axe imaginaire. Le lieu de Nyquist de L(s) est, dans le plan complexe, le chemin ω → L(iω), où ω varie de — ∞ à + ∞. Soit n_P et n_K les nombres de pôles de P(s) et de K(s) situés dans le demi-plan droit, et N le nombre de tours effectués par le lieu de Nyquist de L(s) autour du point — 1 (appelé « point critique ») dans le sens direct, en supposant que ce lieu ne passe pas par le point critique. D'après le critère de Nyquist, Σ est stable si, et seulement si N = n_P + n_K.

De plus, compte tenu des erreurs de modèle, inévitablement présentes, il importe que la distance du lieu de Nyquist au point — 1 ne soit pas trop petite. Cette distance est appelée la « marge de module » et notée Mm. Soit S_i la fonction, appelée « fonction de sensibilité », définie par S_i(s) = 1/[1 + L(s)]. Elle appartient (si Σ est stable) à l'ensemble RH_∞ des fonctions de transfert propres ayant tous leurs pôles dans le demi-plan gauche ouvert. Cet ensemble RH_∞ est muni d'une structure de ℝ-algèbre normée (cf. algèbres normées), la norme ∥f∥_∞ d'un élément f appartenant à RH_∞ (appelée « norme H_∞ ») étant définie par

.

Dans le cas où f appartient à RH_∞^p×m, la définition de ∥f∥_∞ s'obtient à partir de l'expression ci-dessus en remplaçant |f(s)| par σ (f(s)). La marge de module est donnée par

(13)

On peut considérer que la marge de module est correcte si elle est au moins égale à 0,5. On définit également à partir du lieu de Nyquist (ou du diagramme de Bode) de L(s) la marge de gain Mg et la marge de phase Mp ; Mg (resp. Mp) est la réunion de tous les intervalles ouverts I de ℝ tels que 1 ∈ I (resp. 0 ∈ I) et, pour tout g ∈ I (resp. pour tout ϕ ∈ I), 1 + gL(s) [resp. 1 + e^—iϕL(s)] a tous ses zéros dans le demi-plan gauche (autrement dit, ce sont, respectivement, les gains et les déphasages qui, s'introduisant à un endroit de la boucle, ne provoquent pas d'instabilité). Les bornes des marges de gain et de phase sont souvent exprimées, respectivement, en décibels et en degrés. On peut donner des minorants de ces marges à partir de la marge de module :

Mg ⊃ ]1/(1 + Mm), 1/(1 — Mm)[, Mp ⊃ ]— 2 arc sin (Mm/2), 2 arc sin (Mm/2)[ (14)

Supposons maintenant que le système à commander réel^rP soit linéaire, stationnaire et minimal,[...]