AUTOMATIQUE

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Modélisation

Modèles non linéaires

La modélisation est un problème épineux, car pour savoir modéliser des systèmes électriques, mécaniques, thermiques, hydrauliques et autres, il faudrait être tout à la fois électricien, mécanicien, thermicien, hydraulicien, etc. Aussi une bonne modélisation est-elle souvent le fruit d'une collaboration entre l'automaticien et un ou plusieurs spécialistes des disciplines que nous avons citées ; encore le premier doit-il avoir une culture scientifique suffisamment large pour pouvoir entretenir avec les seconds un dialogue fécond. Considérons un cas simple, celui du pendule inversé de la figure 1 (dont le comportement n'est pas sans rapport avec celui d'une fusée au moment du décollage).

Ce pendule est constitué d'un chariot de masse M sur lequel s'articule une tige de longueur l terminée par une masse m. Les frottements et la masse de la tige sont supposés négligeables et la masse m est supposée ponctuelle. On agit sur ce pendule inversé au moyen d'une force f s'appliquant au chariot qui se meut horizontalement. Il s'agit d'un système holonôme (cf. mécanique analytique) dont les coordonnées généralisées q1 et q2 sont respectivement y (l'abscisse du chariot) et θ (l'angle que fait la tige avec la verticale). L'énergie cinétique du chariot est T1 = (M/2)2 (où  = dy/dt est la dérivée de y par rapport au temps t), tandis que celle de l'ensemble (tige+masse) est T2 = (m/2)(12 + ż12), où y1 et z1 désignent respectivement l'abscisse et l'ordonnée de la masse m, à savoir y1 = y + l sin θ et z1 = l cos θ.

L'énergie cinétique du pendule est T = T1 + T2 ; son énergie potentielle est celle de la masse m, c'est-à-dire U = mgl cos θ, où g est l'accélération de la pesanteur. Le Lagrangien est L = T — U et les équations de Lagrange qui régissent le mouvement s'écrivent

avec, dans le cas présent, i ∈ {1, 2} et où Qi est la force généralisée externe (c'est-à-dire ne dérivant pas du potentiel U) suivant qi. Ici, Q1 = f et Q2 = 0, et on obtient donc les équations du pendule :

(1)

Le système d'équations (1) est de la forme générale

F(w, ..., w(α)) = 0, (2) où w est le vecteur dont les composantes w1, ..., wk sont les variables du système considéré. La fonction F est généralement vectorielle, ayant r composantes si l'entier r désigne le nombre d'équations. Le système défini par (2) est dit stationnaire si les coefficients mis en jeu par la fonction F sont constants, et sinon instationnaire.

Modèles linéaires

Soit Σ le système défini par (2), et supposons-le stationnaire. Un point w* = [w1* ... wk*] est un point d'équilibre de Σ si F(w*, 0, ..., 0) = 0. Dans le cas du pendule inversé régi par (1), cette égalité entraîne f * = sin θ * = 0. Ce système admet donc une infinité de points d'équilibre : y* quelconque, θ * = 0 (modulo π) et f * = 0. Bien entendu, le pendule est en « position inversée » pour θ * = 0 (modulo 2π).

Le système Σ est dit linéarisable autour du point d'équilibre w* si F est différentiable dans un voisinage de (w*, 0, ..., 0). Soit alors Δw un « petit accroissement », dans le sens où Δw et ses dérivées jusqu'à l'ordre α sont « petits ». L'approximation linéaire de Σ autour de w* s'obtient en remplaçant dans (2) la fonction F par son développement de Taylor au premier ordre au voisinage de (w*, 0, ..., 0). On obtient alors le système linéaire Σl d'équation

.(3)

Par exemple, en linéarisant (1) autour de (y* = 0, è * = 0, f * = 0), on obtient les équations du pendule inversé linéarisé :

(4)

Revenons à la linéarisation du système (2) en se ramenant au cas où w* = 0 par translation de l'origine. On a alors w = Δw et (3) est de la forme E(∂)w = 0, où ∂ = d/dt et E(∂) est une matrice polynômiale à r lignes et k colonnes, c'est-à-dire est un élément de ℝ[∂]r×k, ℝ[∂] désignant l'anneau des polynômes en ∂ à coefficients réels.

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Écrit par :

  • : professeur des Universités
  • : professeur titulaire de chaire (Chaire d'automatisme industriel, Conservatoire national des arts et métiers)

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Pour citer l’article

Hisham ABOU-KANDIL, Henri BOURLÈS, « AUTOMATIQUE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 21 juin 2022. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/automatique/