La théorie des espaces hilbertiens trouve son origine dans celle des développements de fonctions arbitraires en séries de fonctions orthogonales, lesquelles apparaissent le plus souvent comme fonctions propres de certains opérateurs différentiels linéaires (séries de Fourier, fonctions sphériques, théorie des oscillations de Sturm-Liouville). À l'occasion de l'étude des équations intégrales, ébauchées par V. Volterra, I. Fredholm et E. Schmidt, Hilbert définit l'espace l2 des suites de carré sommable, et résout les principaux problèmes posés en interprétant les équations en termes d'endomorphismes de l'espace l2. E. Schmidt, M. Fréchet et F. Riesz donnent ensuite une forme plus géométrique à la théorie de Hilbert, en introduisant le langage des normes, de l'orthogonalité et des bases hilbertiennes, et découvrent que de nombreux espaces fonctionnels classiques sont isomorphes à l2, ou à des sous-espaces vectoriels de cet espace. Dès lors s'impose une présentation axiomatique des espaces préhilbertiens et hilbertiens ; elle est essentiellement due à J. von Neumann et à F. Riesz ; le lecteur la trouvera esquissée ci-dessous. Enfin, ces derniers approfondissent considérablement l'étude des endomorphismes des espaces hilbertiens, et créent ainsi un des outils les plus puissants de l'analyse fonctionnelle et de la physique mathématique.
Nous supposons connus les notions fondamentales de l'algèbre linéaire (cf. algèbre linéaire), le langage des normes et semi-normes, et la notion de famille sommable.
1. Généralités
• Espaces préhilbertiens
On appelle espace vectoriel préhilbertien (complexe) un espace vectoriel sur le corps C des nombres complexes, muni d'une forme sesquilinéaire auto-adjointe dont la forme hermitienne associée est positive, c'est-à-dire d'une application de E × E dans C, notée (x, y) ↦ (x|y), satisfaisant aux conditions suivantes :
– pour tout élément y de E, l'application x ↦ (x|y) est linéaire ;
– pour tout couple (x, y) d'éléments de E, (y […]
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