3. Le problème de la mesure « universelle »
En 1914, le mathématicien Hausdorff, un des fondateurs de la topologie générale, avait posé le problème suivant : est-il possible d'associer à tout ensemble borné A de l'espace numérique Rn à n dimensions un nombre positif ou nul m(A) tel que :a) m(A1 ∪ A2) = m(A1) + m(A2) si A1 et A2 sont sans point commun ;b) m(A) = m(B) si A et B se déduisent l'un de l'autre par une translation ou une rotation de l'espace.
On impose de plus, bien entendu, que m(A) ne soit pas nul pour tout A.
Hausdorff avait démontré par l'absurde l'impossibilité de ce problème pour n ≥ 3 ; on doit à Banach la construction d'une telle application A ↦ m(A) pour n = 1, 2. Ainsi apparaît, à propos de ce problème, une différence fondamentale et inexplicable intuitivement entre le plan (n = 2) et l'espace usuel (n = 3). Analysant de plus près l'impossibilité du problème de la mesure universelle pour n ≥ 3, Banach, dans un travail commun avec Tarski, démontre en 1923 l'étrange résultat suivant, qui est connu sous le nom de « paradoxe » de Banach-Tarski : étant donné deux ensembles bornés quelconques de Rn, n ≥ 3, contenant chacun au moins un point intérieur (par exemple deux boules de rayons différents), B et B′, on peut les décomposer chacun en un nombre fini et égal de parties disjointes A1, A2, ..., An et A′1, ′A2, ..., ′An de telle sorte que Ai et ′Ai se déduisent l'un de l'autre par un déplacement de l'espace ; on dit dans ce cas que B et B′ sont équivalents par décomposition finie. La différence fondamentale entre le plan et l'espace se traduit ainsi par des résultats du type suivant : deux polygones arbitraires (du plan) dont l'un est contenu dans l'autre ne sont jamais équivalents par décomposition finie, alors que deux polyèdres arbitraires le sont toujours !
Notons que, comme il fallait s'y attendre, la démonstration de ces résultats utilise l'axiome du […]
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